《序與數：數概念的形成與演變》是 2023年7月1日清華大學出版社出版的圖書，作者：馮琦。
基本介紹
- 中文名：序與數：數概念的形成與演變
- 作者：馮琦
- 出版時間：2023年7月1日
- 出版社：清華大學出版社
- ISBN：9787302632023
- 定價：98 元
- 印次：1-1
- 印刷日期：2023.07.11
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書涉及有關自然數的本體論和認識論的基本問題。十九世紀後半葉，多位數學思考者、哲學思考者圍繞自然數這一概念展開過一系列探索。其結果各有所長、各有千秋，但都不盡如人意。原因在於人們只注意到自然數的有限基數特點而疏忽了自然的實在的剛性的序特點。我國古代充滿智慧的先人們則早已駕輕就熟地套用這種序結構來表達思想。
本書試圖從自然界的序現象出發，結合我國古代先人套用序的智慧，闡明這種幾乎無處不在的“序結構”如同到處可見的“幾何結構”一樣，是人類一種來自生活經驗的認識之源，有關自然數及其運算律的認識也和有關幾何知識的認識一樣源於對客觀世界的感知。本書試圖以嚴格的數學方式來論證自然數這一概念從其依賴的本源到抽象獨立出來，成為柏拉圖所說的“永恆之物”的自然和典型的思維路徑，以及從自然數到實數的根本發展途徑的典型性，從而對有關數概念的一些認識論問題提出具有說服力的見解。
圖書目錄
目 錄
第 1 章 緒論 1
1.1 十九世紀末葉思想者對自然數觀念的典型解釋 3
1.1.1 弗雷格在《算術基礎》解釋自然數 3
1.1.2 赫爾姆霍茲否定算術知識的先驗性 12
1.1.3 克羅內克定義自然數 18
1.1.4 戴德金論自然數的本質與含義 20
1.1.5 皮亞諾算術公理 27
1.1.6 對前述典型認知的幾點評註 29
1.2 面臨的基本問題及基本假設 32
1.2.1 思維過程涉及三種世界 33
1.2.2 關於抽象與抽象能力 42
1.2.3 關於數的哲學思考 44
第 2 章 比較與排序 49
2.1 生活中的比較問題 49
2.2 等同 58
2.2.1 相同關係 58
2.2.2 等價類與商集 62
2.3 關聯準線性序與自然離散線性序 66
2.3.1 關聯準線性序關係 66
2.3.2 線性序 68
2.3.3 關聯準線性序之群體效應 69
2.3.4 關聯準線性序之提升 70
2.3.5 一階邏輯之量詞 78
2.3.6 量詞所轄變元之變化範圍問題 79
2.3.7 關於抽象：從具體到一般 80
2.3.8 序結構比較問題 81
2.3.9 特殊字元串表及其字典序 85
2.3.10 居民擴展名之等價類中名字的字典序 86
2.3.11 商集 M/ 中的元素與商集 H0/中元素之比較 88
2.3.12 竹簡書卷長短比較 89
2.4 “正”字字元串 92
2.4.1 從實物標識到“正”字字元串表示 92
2.4.2 “正”字字元串之有界部分團 95
第 3 章 序型算術與自然數 98
3.1 序同構與序型比較 98
3.1.1 等勢 98
3.1.2 保序對應 101
3.1.3 序同構法則 102
3.1.4 自然離散線性序之剛性 102
3.1.5 序型表示問題 106
3.1.6 有限性與自然數 107
3.1.7 “自然數”之內涵 108
3.2 算術問題 108
3.2.1 合併操作與整合操作 108
3.2.2 無重合序合併與序型加法 109
3.2.3 序型加法 111
3.2.4 序型加法保持序型比較關係 112
3.2.5 整合操作與乾支乘積 123
3.2.6 整合操作的基本性質 125
3.3 序型算術的實現 126
3.3.1 加法運算與乘法運算 126
3.3.2 運算保序規律 131
3.3.3 自然數數值內涵 134
第 4 章 正分數 139
4.1 平面直線線段長短比較問題 139
4.1.1 平面直線線段長短比較 139
4.1.2 平面長度度量假設 144
4.2 平面整齊矩形面積量 146
4.2.1 整齊矩形面積度量 146
4.2.2 長度量之乘法以及面積量 148
4.2.3 等分直線段與正分數 149
4.3 正分數算術律 151
4.3.1 發現正分數算術律 151
4.3.2 長度量均分假設 155
4.3.3 發現正真分數大小比較律 155
第 5 章 幾何量 158
5.1 發現非分數幾何量 158
5.1.1 單位正方形主對角線長度問題 158
5.1.2 發現雙倍面積定理 159
5.1.3 發現勾股弦面積定理 162
5.2 幾何原理 168
5.2.1 默認假設追問 168
5.2.2 歐幾里得幾何 169
5.2.3 劉徽計算中的幾何直觀假設 171
5.2.4 發現圓周率 172
5.2.5 “數之法出於圓方” 173
5.2.6 非有理幾何量 174
5.2.7 無理數 175
5.2.8 幾何量與正實數 175
5.2.9 平面夾角及其大小比較 176
5.2.10 平面上夾角的度量 178
5.2.11 發現正弦變化律 179
5.2.12 正弦值與三角形面積 183
5.2.13 正無理長度 185
5.2.14 正實數直線 185
5.2.15 非負實數軸與平面直線線段長度 190
5.2.16 鏡面反射與負數 192
5.2.17 整數直線、分數直線、實數直線 192
5.2.18 實數軸 195
第 6 章 向量 198
6.1 實數平面與實數立體幾何空間 198
6.1.1 笛卡爾直角坐標系 198
6.1.2 歐幾里得平面參照系 201
6.1.3 笛卡爾距離空間 203
6.1.4 立體歐幾里得空間參照系 206
6.1.5 向量空間 208
6.1.6 內積空間 214
6.1.7 高維向量空間中的內積 216
6.2 向量內積空間上的變換 217
6.2.1 平移 217
6.2.2 旋轉 220
6.2.3 旋轉矩陣 221
6.2.4 矩陣之代數運算 223
6.2.5 旋轉複合 230
第 7 章 超限序數 235
7.1 對應與函式 235
7.2 康托建立集合論 239
7.2.1 認識實變函式 239
7.2.2 區分可排列與不可排列 244
7.2.3 康托引入超限序數 246
7.2.4 公理化之路 254
7.2.5 集合論語言：形式規則、形式語義以及形式判斷 256
7.2.6 無窮集合存在性 259
7.2.7 笛卡爾乘積以及交、並、差運算 268
7.2.8 函式概念以及等價關係概念 271
7.2.9 集合之勢比較與等勢 274
7.3 有限數的集合表示 275
7.3.1 自然數大小比較 275
7.3.2 有限集合 276
7.3.3 自然數平面之序與勢 278
7.3.4 遞歸定義 280
7.3.5 自然離散線性序表示定理 282
7.3.6 自然數算術 285
7.3.7 整數及其算術 286
7.3.8 有理數算術及其線性序 287
7.3.9 有理數基本序列 289
7.3.10 實數有序域 291
7.3.11 希爾伯特“關於實數概念” 298
7.4 秩序與序數 301
7.4.1 秩序集合 302
7.4.2 序數 303
7.4.3 秩序典型代表問題 306
7.4.4 序數算術 309
7.4.5 秩序化問題 313
7.4.6 集合論論域累積層次 314
7.4.7 集合論公理體系 ZFC 315
7.4.8 基數 315
7.4.9 基數之和與積 319
第 8 章 無窮小量 321
8.1 無窮小量與非標準實數軸 321
8.2 非標準實數軸的超冪構造 324
8.2.1 自然數集合上的超濾子 324
8.2.2 實數軸的一個超冪 325
8.2.3 自然數算術非標準模型 328
索引 330
