幻圓

楊輝幻圓

楊輝《續古摘奇算法》有聚五圖、聚六圖、聚八圖、攢九圖、八陣圖、連環圖。

楊輝《續古摘奇算法》中的攢九圖以自然數1至33構成，9在圓心，其餘排列在四個同心圓上，每圈8個數。楊輝有如下攢九圖奇妙特點：

1）四條直徑上數字之和是147，

28+5+11+25+9+7+19+31+12=147

2）四個圓周上數字之和加圓心9之和也是147。

28+27+20+33+12+4+6+8+9=147

3）八條半徑線上數字（不包括9）之和=69

27+15+3+24=69

4）四個圓周上數字之和（不包括9）=八條半徑線上數字和的兩倍。

楊輝書中未曾說明幻圓的構造方法。新加坡大學藍麗蓉教授建議將八組半徑數字分為兩組，構成兩個四階幻方，例如：

由於這兩個四階幻方縱數橫數之和都是69，只需從第一幻方和第二幻方中隨意各取一行，或隨意各取一列，構成同一條直徑上的兩對半徑，一共組成四條直徑，每直徑8個數，最後在圓心安方9，就不但可以排出楊輝幻圓；而且可以排除許許多多不同排列的幻園。此外，由於數字的和與數字的次序無關，因此：

楊輝幻圓真是富於變化。如果限制四個圓周上必須有兩個同和半圓(半圓上的四個數字之和必須=69)，楊輝幻圓上的半徑位置就不可調換。如此一來，楊輝幻圓可以有

具有16個同和線段（和數為69）的幻圓不止一個，可依靠四個圓圈的不同排列得到，共有4x3x2=24種。

1至64， 64數字分為八個圓圈，每個圓圈內數目之和=260。從西北角順時針方向各小圓之和為：

又東西方向和南北方向的八個數字之和也是260：

此外兩條對角線的16個數字之和為260的兩倍：

1至72，共72個數字分為9個圓圈，排列成方陣如圖。

此連環圖奇妙之處在於連環生圈：由於左右相鄰的四個圈的數字連環，又多出4 8字圓圈連環圈。由有以下相鄰的8字圈連環組成：

一共13個八字圈：：西北，北，東北，東，東南，南，西南，西，中，（東北，北，東，中），（西北，北，西，中），（東南，南，東，中），（西南，南，西，中）。