《平面角點附近擬線性橢圓方程弱解光滑性的幾個問題》是依託南京理工大學，由許孟擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：平面角點附近擬線性橢圓方程弱解光滑性的幾個問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：許孟
- 依託單位：南京理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題擬深入研究擬線性橢圓方程在非凸多邊形角點附近弱解的光滑性，特別 以p-Laplace方程作例子，將套用調和分析、複分析、偏微分方程的思想和方法，在Holder空間類中採用對方程線性化、取上下解構造閘函式、構造疊代映射、利用Leray-Schauder不動點定理等步驟得到解的適定性。特別是，著重關注凹多邊形角點附近弱解的漸近展開，深刻刻畫角點對弱解的奇異性的影響。擬線性橢圓方程的弱解在角點附近的奇異性和正則性問題，存在於很多現實中的實際問題，例如多孔介質流問題、非牛頓流問題、反應擴散問題、繞流問題、極小曲面問題等等，並能進一步套用於許多數學物理問題之中，而且也可以豐富擬線性方程的理論。
結題摘要
本課題試圖研究擬線性橢圓方程在非凸多邊形角點附近弱解的光滑性，很多數學模型都具有這樣的特徵，如多孔介質流問題、非牛頓流問題、繞流問題、極小曲面問題、反應擴散問題等等。我們主要關注平面中凹多邊形角點附近弱解的漸近展開性態，然後考慮解在角點附近的奇異性和正則性問題，試圖深刻刻畫角點對弱解的奇異性的影響。為此，課題負責人作了大量的嘗試和不懈努力。例如，試圖利用分離變數法，藉助方程的特徵研究p-Laplace方程、極小曲面方程、Aronsson方程、位勢流方程等在平面上角點和三維空間中錐點附近各向同性的行為；也研究了Monge-Ampere方程和位勢流方程線性化後的方程，得到它們解的存在性。因為該解非常“弱”，如何提高正則性就非常困難。由於區域的非光滑性，奇異性傳播的影響不可消除，解的正則性難以提高。特別是在平面凹多邊形中，最好的模型——Laplace方程在凹性角點附近無論是Dirichlet邊值條件、Neumann邊值條件、Robin邊值條件、正則斜微商條件還是混合邊值條件中，哪一種邊值條件最好也就是解具有Holder連續性，這說明“非光滑”的困難不可逾越。一種策略也就是改變度量或加權，使得邊界附近變得光滑，但是方程變的更為複雜，事實上從本質上看角點或錐點附近的性態還是無法改變的。此外，課題組成員也考慮了高維球面上如何尋找共形度量的問題，利用標量曲率流和Q-曲率流的方法研究了一般的Yamabe問題，得到了相應的存在性和L^{\infty}-正則性估計。課題組成員也利用加權能量法研究了二維粘性守恆律初邊值問題解的大時間行為，和二維空間上具有超音速物理邊界的可壓Navier-Stokes方程的初邊值問題解的指數衰減性。隨著調和分析和偏微分方程思想和方法的不斷發展，我們採用的處理許多現實世界的數學物理問題的技巧也在不斷豐富了擬線性方程的理論和完全非線性方程的理論。
