《帶非線性梯度項的拋物型方程的定性研究》是依託東南大學，由李玉祥擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：帶非線性梯度項的拋物型方程的定性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李玉祥
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究的帶非線性梯度項的拋物型方程來源於界面動力學，用來刻畫界面的發展變化規律，其中的非線性梯度項代表外界的確定性因素對界面增長或消減的影響。描述界面演化過程的拋物型方程一般還帶有隨機項，稱之為界面方程。界面在自然界中廣泛存在，如火勢蔓延的鋒線，風蝕的山體表面，腫瘤的包膜等。研究界面的演化規律是非平衡統計力學的一個重要分支。同帶非線性零階項的拋物型方程相比，帶非線性梯度項的方程解的定性性質，是一個有待深入研究的新領域，存在著很多新問題，也有一些新現象，如解的梯度在區域的邊界上會發生有限時刻爆破。本項目的主要研究內容是：確定性界面方程（不含隨機項）的相似解的存在性，整體解的長時間性態，初始跡，梯度邊界爆破分析；含確定性擾動項的界面方程的尺度變換性質；奇性界面方程的適定性和漸近性態；一類隨機界面方程的適定性和漸近性態，等。
結題摘要
本項目研究非線性拋物型方程解的局部存在性、整體存在性、有限時刻爆破、長時間漸近性態、爆破性態等。項目組成員研究了有界區域上三維非線性擴散主導的趨化流體方程組弱解的存在性，給出了保證弱解存在的非線性擴散強度；給出了有界區域上二維趨化流體方程組解趨於穩態解的指數速率；獲得了非線性擴散主導的趨化-趨觸方程組解的有界性；研究了擬線性完全拋物型趨化方程組解的有界性；獲得了耗氧型趨化方程組解趨於穩態解的漸近速率；研究了帶logistics項的趨化-排斥方程組的整體有界性；研究了一些多物種趨化方程組的爆破性質、漸近性質等；獲得了Boussinesq方程組整體解的穩定性。共發表文章15篇，其中SCI文章14篇，EI1文章篇，發表的雜誌包括J. Differential Equations、Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B、Nonlinearity、Z. Angew. Math. Phys.、J. Math. Phys.、Z. Angew. Math. Mech.、Nonlinear Analysis、J. Math. Anal. Appl.等。研究結果有助於深刻理解非線性拋物型方程解的定性性質。四年來兩名博士生畢業，兩名碩士生畢業，兩名碩士生碩博連讀，目前一名博士後在站，四名博士生和一名碩士生在讀。
