帶結構的模型修正問題的數值解法、軟體及套用

《帶結構的模型修正問題的數值解法、軟體及套用》是依託大連理工大學,由董波擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：帶結構的模型修正問題的數值解法、軟體及套用
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：董波

項目摘要

二次模型修正問題是計算數學中一個非常活躍的研究課題, 涉及的領域主要有航空航天、結構力學、聲學、振動理論、電路模擬等。已有的大多數求解方法主要是將模型的係數矩陣作為整體進行修正，很多情況下不能滿足實際需要。本項目主要研究帶結構的模型修正問題。實際套用中，由於系統的內部連結結構，係數矩陣具有稀疏性並且元素為各個非負參數的組合。故對系統進行修正時就不得不考慮系統的內部結構及參數的非負性，這給反問題的理論研究和算法設計都帶來了難度和挑戰，相應的研究成果也較少，並且主要是針對特殊的結構，沒有通用的方法。另外，受現有技術及設備的局限，獲得的實驗數據大都是帶有誤差的，進行模型修正時精確解可能不存在，考慮求基於帶噪特徵對信息的模型修正問題在某種度量下的最優解是很有實際意義的。對上述問題的研究我們已取得了一些結果，在此基礎上將進一步研究理論、設計通用算法、證明算法的收斂性、編制相應軟體並用於解決實際問題。

結題摘要

本項目主要研究了在航空航天、結構力學等實際套用中具有重要套用的結構模型修正問題，相比於一般的模型修正問題，該類問題具有更廣泛的套用背景，但是結構的引進也使得問題的研究更加困難。 理論方面，我們逐步引入結構約束，給出相應的數值求解方法並證明算法的收斂性。具體來說，從係數矩陣要求對稱正定的經典問題出發，為避免產生額外不存在的連結首先引入稀疏性約束，利用交替投影法研究係數矩陣帶有對稱正定及稀疏要求的模型。進一步，為保持系統的內部結構引入連結約束，即保持係數矩陣的元素為某些物理參數的線性組合，同時為了保證系統的可用性，要求物理參數非負，結合矩陣分解理論、半定規劃技術及廣義Lagrange乘子法求解這類保持系統連結結構、參數非負、係數矩陣對稱正定的結構模型修正問題。在套用方面，設計了實用的軟體包，提供多種界面供用戶輸入系統的連結結構及觀測數據，利用各種數值求解方法實現系統重構。對於另一類重要的二次模型：無阻尼陀螺系統，我們給出了兩種求解方法，一種是構造判定矩陣的具體形式，進而基於判定矩陣與特徵向量之間的關係，將部分特徵向量擴充為全部的特徵向量，從而實現系統的重構；另一種是交替方向法，通過引入新的變數將對應的最佳化問題的線性約束及錐約束分開，進一步引入增廣Lagrangian函式，將一個問題轉化為兩個僅有一個約束的子問題進行求解，我們給出了具體的數值算法並證明了算法的收斂性。 同倫方法是求解最佳化問題的一種全局收斂的有效算法，但利用同倫方法求解結構模型修正問題效率不高，問題在於需要跟蹤的路徑條數太多或者路徑拐點太多導致跟蹤效率較低。為了能夠利用同倫方法有效求解此類問題，我們先研究了如何快速有效的跟蹤拐點較多的曲線，給出了一種新的路徑跟蹤策略，並給出了一種求解線性方程組的新的疊代方法。以參數為變數的模型修正問題可看作是多項式最佳化問題，需要研究如何構造同倫使得需要跟蹤的路徑條數儘可能少。我們首先研究了一類特殊的多項式方程組：混合三角多項式方程組，構造了具有對稱性的同倫，通過跟蹤少量路徑即可得到問題的解。 我們也將研究結構模型修正問題中的算法套用到其他問題的求解，例如：將非負矩陣的非負秩分解問題轉化為一個帶有約束的極大極小值問題。將同倫方法套用於多參數特徵值問題的求解，構造了簡單易求的初始問題，並說明當問題維數較大時我們的方法更加行之有效。