帶次線性項奇攝動橢圓方程解的集中現象

《帶次線性項奇攝動橢圓方程解的集中現象》是依託揚州大學，由陸秋平擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：帶次線性項奇攝動橢圓方程解的集中現象
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陸秋平
• 依託單位：揚州大學

項目摘要

在偏微分方程領域，有著生物和物理背景的半線性奇攝動橢圓方程總是吸引著很多數學家的注意力。最近人們對於這類方程解的漸進性，包括最小能量解的漸進性，進行了大量的研究。 在適當的條件下， 利用變分方法，Lyapunov-Schmidt 約化，線性化過程，能量估計以及其它一些方法，人們研究發現這類方程的解會集中在一點或幾點，甚至會集中在一些特殊曲線或曲面上，在這些解集中的周圍會出現尖層， 而且解集中的位置也被得知。但是當半線性奇攝動橢圓方程有次線性項時，極大值原理一般不適用，同時也不能使用線性化過程， 因此在這種情況下我們所知有限。在本項目中我們將研究帶次線性項的半線性奇攝動橢圓方程最小能量解的存在性和漸進性，然後與沒有次線性項的半線性奇攝動橢圓方程作相應的比較。由於我們方程的特殊性，最小能量解的支撐集會隨著參數變小而變小，我們將主要用變分方法和精確的能量估計對其進行研究。

結題摘要

在生物和化學上有種pattern formation 現象,這種現象可以由兩種不同的偏微分方程模型來解釋。例如activator-inhibitor系統模型，其中activator擴散較慢，inhibitor擴散較快；或者Keller-Segel的chemotaxis交錯擴散模型。這兩種模型，通過分析，都可以可以歸結於一類半線性奇攝動橢圓方程問題。最近人們對於這類方程解的漸進性，包括最小能量解的漸進性，進行了大量的研究。 在適當的條件下， 利用變分方法，Lyapunov-Schmidt 約化，線性化過程，能量估計以及其它一些方法，人們研究發現這類方程的解會集中在一點或幾點，甚至會集中在一些特殊曲線或曲面上，在這些解集中的周圍會出現尖層， 而且解集中的位置也被得知。但是當半線性奇攝動橢圓方程有次線性項時，極大值原理一般不適用，同時也不能使用線性化過程， 因此在本項目中我們研究了帶次線性項的半線性奇攝動橢圓方程最小能量解的存在性和漸進性。 我們首先通過條件極值證明了在適當條件下，維數大於等於三的一般帶有次線性項的橢圓方程全空間問題非負最低能量解的存在性，並且這些解都具有緊支。通過比較我們證明了帶次線性項的半線性奇攝動橢圓方程的最低能量解可以集中在區域的任何地方，甚至邊界上。然後我們又通過對稱山路引理證明了兩維以上的一般帶有次線性項的橢圓方程全空間問題有無窮多個球對稱緊支解，其中包括最低能量解。然後我們可以證明兩維帶次線性項的半線性奇攝動橢圓方程的最低能量解有相似的集中現象。我們還研究了半空間問題的唯一性，為更進一步的研究打下了基礎。最後我們還研究了一類帶有臨界指標的橢圓方程在全空間上解的存在性，漸進性問題。