《帶有兩個分段常變數的時滯微分方程的全局穩定性》是依託天津理工大學，由李懷興擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：帶有兩個分段常變數的時滯微分方程的全局穩定性
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：李懷興
- 依託單位：天津理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對於含有兩個分段常變數的時滯微分方程，在其有唯一正平衡點的條件下，如何判別該正平衡點全局漸近穩定，是一個比較複雜的問題。在J. Math. Aanl.Appl.[18] 和 Nonlinear Analysis(RWA)[19]兩篇文章中，作者研究了上述方程唯一平衡點局部漸近穩定性的局部穩定性，並在局部漸近穩定的前提下，給出如下結論：平衡點的局部漸近穩定性意味著其全局漸近穩定性。上述結論尚待商榷，因為作者在這兩篇論文中犯了一個明顯的錯誤：作者通過構造 Liapunov函式來證明正解的全局漸近穩定性，卻限定解在大約某一正數(該正數大於方程唯一的正平衡點的數值)的前提下，得到Liapunov 函式關於方程解的導數為負，從而得到該正平衡點全局漸近穩定。顯然上述證明有誤，所以如何尋找新的途徑來證明上述結論，得到正平衡點的局部漸近穩定性意味著其全局漸近穩定性，仍然是一件非常有意義的工作。
結題摘要
在動力學中，一個很重要的問題就是解的漸近性性質，即當時間趨向於無窮時解所具有的一些性質，其中一個就是其穩定性問題。如果其中一個穩定態勢穩定的，那么無論我們是理論上還是數值模擬上，都可知該穩定態附近的解都應該在其附近。尤其對於數值模擬，可以給予理論上的支持。另外，如果平衡態全局漸近穩定，那么該系統就具有簡單的動力學行為，即所有解最終都趨向於該穩定態，因此研究全局漸近穩定性問題也是一個非常重要的。其中，局部穩定性的研究相對於全局漸近穩定性比較簡單，只需要考慮系統在平衡點附近的線性化系統的特徵值問題，所以其中一個比較有趣的問題就是在平衡點局部漸近穩定的的條件下，是否其全局漸近穩定(一般局限於方程的實際意義下的全局漸近穩定)。在[J. Math. Anal. Appl. (2009)360, 334-342] 和 [Nonlinear Analysis (RWA), （2011）12，1532-1545]兩篇文章中，作者研究了上述方程唯一平衡點局部漸近穩定性的局部穩定性，並在局部漸近穩定的前提下，給出如下結論：平衡點的局部漸近穩定性意味著其全局漸近穩定性。證明中，他們限定解在大於某一正數(該正數大於方程的平衡點)的前提下，得到Lyapunov 函式關於方程解的導數為負，從而得到該正平衡點全局漸近穩定。顯然上述證明有誤，給出一些其全局漸近穩定的充分性條件，但是要糾正該錯誤還是比較困難的。另外一個研究的方面是對於帶有時滯的傳染病模型，其中一個非常重要的參數基本再生數。當基本再生數大於一時方程組存在一地方病平衡點，是否基本再生數大於一時可以確保該正平衡點全局漸近穩定？我們對不同形式的SEIR或 SIR進行研究，並且得到相應的結論。
