帕雷托解

帕雷托解(Pareto solution)亦稱非劣解或有效解。多目標最佳化的一種解概念。由義大利經濟學家帕雷托(Pareto，L.)提出。

多目標最佳化也稱多屬性決策。指包含多種目標的複雜性的決策。在決策科學中，目標被定義為：決策人希望決策結果所能達到的狀態的表述。

基本介紹

• 中文名：帕雷托解
• 外文名：Pareto solution
• 領域：數學
• 學科：數學規劃
• 別稱：非劣解或有效解
• 提出者：帕雷托

簡介

帕雷托解(Pareto solution)亦稱非劣解或有效解。多目標最佳化的一種解概念。由義大利經濟學家帕雷托(Pareto，L.)提出。設有N個決策人，第i人的決策量為u_i，其極大化目標函式為J_i(u₁，u₂，…，u_N)。稱點u^p=(u^p₁，u^p₂，…，u^p_N)為一帕雷托解，是指不可能找到更好的決策u^*=(u^*₁，u^*₂，…，u^*_N)，使得對任何i，均有J_i(u^*)≥J_i(u^p)，且其中至少有某i使得不等號嚴格成立。由於帕雷托解一般並不惟一，如何由其中按某種理性準則選出最滿意的結果，將是這一類多目標最佳化問題求解的關鍵。

多目標最佳化

也稱多屬性決策。指包含多種目標的複雜性的決策。在決策科學中，目標被定義為：決策人希望決策結果所能達到的狀態的表述。根據目標的這一定義它具有以下特點：(1)層次性。即將目標分為不同的層次，最高層的稱“總體目標”，以下分別有不同性質和不同類別的目標與子目標。(2)模糊性。即對目標的度量常用“好”、“不好”和“差”等模糊概念來表達，這種表達更接近實踐。(3)相對獨立性。即雖然目標之間存在著種種聯繫，但決策時常常將它們獨立地加以考慮。屬性是指可測的量，它反映特定的目標達到目的的程度。屬性必須滿足兩個性質：(1)可理解性。如果一屬性的值足以標定相應的目標達到的程度，則它是可理解的。(2)可測性。如果對給定的方案能夠用某種標度對一屬性賦值，則該屬性是可測的。在社會經濟系統和工程系統中，大量的問題是要求決策者考慮多於一個目標的決策。如在選購商品時要考慮商品的質量、性能、形狀和價格等方面。這裡討論的“質量”、“性能”、“形狀”和“價格”就是決策科學中的屬性，而“質量好”、“性能全”和“價格低”等則是進行決策的目標。這裡可以用數學符號a=(a₁，a₂，…，a_n)來表示每一個決策方案。其中a₁，a₂，…， a_n為多個目標所對應的屬性。每個多目標決策問題都包含有五個要素，它們是：決策單元(包括決策人)、決策目標、決策屬性、決策方案和決策規則。多目標決策問題可以表述成：決策人根據決策規則，由決策屬性的值，在決策方案中選擇一個最好的方案。

目標最佳化問題一般地就是指通過一定的最佳化算法獲得目標函式的最最佳化解。當最佳化的目標函式為一個時稱之為單目標最佳化(Single-objective Optimization Problem, SOP)。當最佳化的目標函式有兩個或兩個以上時稱為多目標最佳化(Multi-objective Optimization Problem, MOP)。不同於單目標最佳化的解為有限解，多目標最佳化的解通常是一組均衡解。

多目標最佳化算法歸結起來有傳統最佳化算法和智慧型最佳化算法兩大類。
1. 傳統最佳化算法包括加權法、約束法和線性規劃法等，實質上就是將多目標函式轉化為單目標函式，通過採用單目標最佳化的方法達到對多目標函式的求解。
2. 智慧型最佳化算法包括進化算法（Evolutionary Algorithm, 簡稱EA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）等。

目標函式

決策問題中所要實現的決策目標的數學表達式。經濟工作中需要決策的問題主要有兩類：①如何套用有限的資源，取得最大的經濟效果，使產量、產值、盈利等達到最高;②在任務一定的情況下，如何合理地配置各種資源，以最少的消耗去完成這些任務。這些問題通常可用線性規劃方法解決。因此，線性規劃模型中的目標函式就是求變數的線性函式的極大值或極小值。如最高產量或產值、最大利潤或淨收益、最低成本、最小投資、最短距離等。這種目標函式只能是度量單位相同的單一目標。如果有多個目標，則應將多目標轉化為單一目標，才能求解。

衡量一個決策過程好壞的函式。它是決策向量的函式，即每一個策略對應著一個目標函式值，即目標函式依賴於系統的狀態及相應的策略。在動態規劃問題中，所遇到的目標函式中最簡單最常用的是相加型的，即總目標函式是決策過程通過的每個狀態的目標函式之和。多階段決策問題，就是要在允許選擇的那些策略中間，選擇一個最好的策略，使目標函式值達到最優。

數學規劃

運籌學的一個分支，是線性規劃、非線性規劃、動態規劃、多目標規劃等的總稱。數學規劃問題與工程技術、經濟管理等領域中的許多問題有著密切的關係。這些問題的共同特點就是：當考察某一系統時，在 某些條件(資源、勞動力、工藝技術等)的限制 下，採取何種決策(方案)，可使系統的某個目 標最最佳化。

為了做出決策，一般要通過以下三個階段進行：

1.對所考察的系統建立一個數學模型。 建立模型時，首先要確定變數；蒐集有關數據；確定有待最最佳化(極大或極小)的目標函式；把對系統的限制條件寫成數學關係式(等式或不等式)。這些限制條件統稱為約束條件。

2.分析所建立的數學模型的特點，並選擇適當的求出最優解的算法。

3.求出最優解。求解時大多需要利用計算機。所求出的最優解可以為決策者提供做 出最優決策的各種信息。

根據數學模型中約束條件和目標函式的特點，數學規劃可以分為線性規劃、非線性規劃、動態規劃等各類規劃問題。不難看出，數 學規劃本質上屬於最最佳化問題的範疇。這類 最最佳化問題的古典形式就是微積分中的極值 問題和條件極值問題。但是，對這類極值問題的研究直到本世紀40年代前後才受到應有的注意。並在最優設計、經濟管理、系統分析等各領域得到廣泛的套用。

帕雷托

義大利經濟學家、社會學家。生於巴黎。早年學習自然科學，1868年獲都靈大學工程博士學位。畢業後一度從事工程技術工作。1889年前後轉向研究經濟學，1893年任瑞士洛桑大學政治經濟學教授。1906年後致力於社會學研究。對殘餘物和衍生物的區分是他全部社會學分析的理論前提。殘餘物即從社會活動中除去人們的理性想法之後保留下來的東西，它是社會活動的常數；衍生物則表示觀念、信仰、理論等意識形態系統，它是派生的，是社會活動的變數。他的行動理論指出了人的行動的非邏輯方法，認為行動是對人的情感或心理狀態的一種反映，而不是真正基於手段——目的的理性模式。他的精英理論研究了社會分層和社會統治問題，認為社會中存在具有最高能力的社會精英，並將之分為政治精英和經濟精英兩種類型。在社會系統理論中，他指出經濟生產力的水平、政治權力的分布狀態、意識形態的性質和不平等的模式是社會系統的四個特徵，它們具有動態均衡的關係。帕雷托的社會學思想是結構功能主義的理論來源之一。主要著作有：《政治經濟學講義》(1896—1897)、《社會主義體系》(1902—1903)、《政治經濟學教程》、(1906)、《社會學通論》(1916)等。