希爾伯特主義派(Hilbertist school)數學基礎中的學派之一該學派的代表人物是德國數學家希爾伯特。
基本介紹
- 中文名：希爾伯特主義派
- 外文名：Hilbertist school
希爾伯特主義派(Hilbertist school)數學基礎中的學派之一該學派的代表人物是德國數學家希爾伯特(Hilbert , D. ).許多人認為希爾伯特是現代形式主義派的代表人物，其實這是一種誤解.希爾伯特的數學觀和形式主義派的基本觀點並不相同，查閱希爾伯特全集，沒有發現他在什麼地方發表過與形式主義派相同的主張，從歷史上看，希爾伯特也沒有在任何場合表示過他是形式主義者，連希爾伯特的學生貝爾奈斯也不同意把希爾伯特列為形式主義派的代表人物，特別是形式主義者庫賴(Curry)曾明確指出:“現在有許多人把形式主義與應稱為希爾伯特主義的學派等同起來，這是不對的”.造成這種歷史誤解的主要原因是絕大多數形式主義者“都奉希爾伯特為祖師”.時間一長，也就習慣於此說了.
希爾伯特在數學基礎問題上的基本觀點是:一方面希望保存古典數學的基本概念和古典邏輯的推理原則，特別是那些與實無限性有關的概念和方法，諸如無限集概念和排中律在無限集上的使用等;但在另一方面，希爾伯特同樣出於可信性的考慮，對這些實無限性概念和方法的使用顧慮重重，幾乎和直覺主義者一樣地認為可信性只存在於有限之中，無限是不可靠的，希爾伯特要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在套用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一這就是克雷塞爾(Kriesel , G.)所說的:“希爾伯特是從有限性的觀點出發去理解超窮方法之套用的.”
希爾伯特規劃是希爾伯特主義的主要組成部分，也是希爾伯特用以實現其主張的方案，主要內容是:
- 證明古典數學的每個分支都可在數學系統公理化意義下予以公理化.
- .證明每一個在上述意義下被公理化了的系統都是完備的.即系統內任一可表述的命題均可在系統內得到判定.
- .證明每一個在上述意義下的系統都是相容的.
- .證明每個這樣的系統所相應的模型都是同構的.
- .尋找這樣一種方法，藉助於它，可在有限步驟內判定任一命題的可證明性. 希爾伯特為具體實施其規劃而創立證明論，即元數學理論.它著眼於整個形式系統，並以“證明”本身作為研究對象.希爾伯特主義派有三種數學系統:
.非形式化的數學系統G:即普通的數學系統，在其中允許使用古典邏輯推理規則，例如，在無窮集合上使用排中律等. 2.形式化的數學系統H:在H中的符號、公式、公理、命題等都是形式的，在未加解釋之前都是沒有內容和意義的，而經解釋後就是G中相應的內容.即G是H的模型,H是G的形式化. 3.元數學系統K:這是用以研究H的元理論，而在K中的推理規則必須保持直覺的可信性，例如不能涉及無窮，不允許在無窮集合上使用排中律等. 希爾伯特主義派在實質上還是對實無限性採取了排斥態度.希爾伯特認為:“就像無窮小的運算已被有限範圍內的運算所代替一樣……建立在無限之上的推理方法也必須用有限過程來代替.”他在元數學的推理中，完全徹底地和荷蘭數學家布勞威爾 (Brouwer , L. E. J.)站在一起了.但從他和布勞威爾的激烈爭論中力爭保留古典數學這一點上看，卻又不能認為希爾伯特視無限集理論為天堂之說是虛假的。希爾伯特曾在一次著名的講演中說:“沒有任何問題能像無限那樣，從來就深深地觸動著人們的情感;沒有任何觀念能像無限那樣，曾如此卓有成效地激勵著人的理智;也沒有任何概念能像無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清.”
一般地說，人們對希爾伯特主義派的評論，可以歸結為如下幾條:
1.普遍認為，希爾伯特把所有涉及無限的概念和方法都視為沒有真實意義的觀點，是從根本上歪曲了數學和真實世界的關係，是不符合認識論原則的.
2.希爾伯特規劃中曾提出要證明每一個數學系統都是完備的.但哥德爾不完備性定理指出:即使把初等數論形式化之後，在這個形式演繹系統中，也總可找出一個合理的命題來，它在系統內既無法證其為真，也無法證其為假.這表明希爾伯特規劃的上述要求是無法實現的.不僅如此，由不完備性定理還可推知:人們只能憑藉更強的在系統內不能表述的方法去證明系統的無矛盾性.這就直接表明了希爾伯特關於用有限方法證明系統無矛盾性的構想是不能實現的.
3.普遍認為，希爾伯特創立證明論的思想具有重大意義.因為證明論立足於把整個系統作為研究對象的高度，才使人們首次不只是著眼於系統內部，而能站在系統之外對它進行研究，並且這一研究獲得了一系列重大成果.例如哥德爾不完備性定理便是立足於證明論的思想高度、著眼於整個系統而獲得的重要成果之一又如以布爾巴基為代表的結構主義的出現，也是立足於這種高度去考察問題的結果.
4.希爾伯特所倡導的形式化研究方法，是一種具有重要意義的研究方法.正如恩格斯所倡導的那樣，“為了能夠從純粹形態中去研究這些形式和關係，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關緊要的東西放在一邊”. 5.不論希爾伯特最終的立足點如何，他面對布勞威爾向古典數學發出的挑戰進行激烈鬥爭，而力爭保存古典數學這一功績，受到絕大多數數學家的推崇. 形式主義派(formalist school)數學基礎中的學派之一形式主義派數學觀的核心思想有兩條:
- 無論是邏輯的或數學的公理系統，其中的基本概念和公理都是一行行毫無意義的符號.形式主義者庫賴(Curry)指出:“形式主義者關於數學的定義是這樣的，數學是關於形式系統的科學.”而形式主義者美國數學家科恩(Cohen,P.J.)則更認為，數學只是“一種純粹的、在紙上的符號遊戲”.
- .數學的真理性等價於數學系統的相容性.因此，“無矛盾性在形式主義者那裡便成為對於數學系統的惟一要求”，1111111 形式主義觀點的形成和發展，一方面來自希爾伯特規劃和形式化研究方法走向極端，另一方面也導源於非歐幾何的出現而引起的關於數學真理性的爭論.當時，由於兩種互相矛盾的幾何系統得以互為相對相容，從而人們提出關於數學真理性體現在何處的問題.有的人認為幾何的真理只在於“如果這些公理是真的，那么由它演繹出來的定理成立”這樣的蘊涵式，如此等，說法不一而形式主義者在這場爭論中所形成的基本觀點，就是幾何的真理性體現在幾何系統的無矛盾性上.形式主義者的無窮觀正如形式主義者魯賓孫 (Robinson)所說的:“我關於數學基礎的主張建立在以下兩個主要觀點上:其一，無論從無窮整體這一名詞的哪一種意義來說，無窮整體都是不存在的(即真實的無窮不存在，理想的無窮也不存在).更嚴格地說，就是關於無窮整體的任何講話或意謂實際上都是沒有意義的.然而，其二，我們還是應該如通常那樣去從事數學活動，即我們做起來就好像無窮整體是存在的那樣.”在此，還應提及形式主義派與現代柏拉圖主義派關於數學實無限性在柏拉圖哲學意義上的實在性的爭論.柏拉圖主義者是承認那種具有任意大基數的超窮集合在哲學意義上的實在性的，只要它們能通過適當的公理予以定義.但形式主義者則如上所見，基本上繼承了德國數學家希爾伯特 (Hilbert , D.)的無窮觀.希爾伯特對理想數學的相容性證明僅僅是相容性證明，並沒有給理想數學增添任何真理性.希爾伯特的數學真理性只存在於有限性之中.當然，希爾伯特也曾有過片面強調形式的傾向.例如，他說過:“數學思考的對象就是符號本身，符號是這個思考的本質，它們不再代替理想化的物理對象.”終然如此，希爾伯特“絕不是一個狂熱的、徹底的形式主義者”.形式主義數學真理觀與希爾伯特數學真理觀是不相同的.人們對形式主義派的一般評論如下:1.一般認為，數學的真理性僅表現在數學系統無矛盾性的觀點是不足取的.固然真理不應有矛盾，但不自相矛盾的卻未必是真理.例如，微積分理論基礎的建立進行了幾百年，無限集理論一開始就陷人了矛盾，而它們恰恰都是在不相容之中發展壯大起來的.所以，不能把相容性視為真理性的惟一標準.
- 2.公理化與形式化的研究方法本來是一種進步，但把形式化的高度抽象引向極端，片面誇大，直至視數學理論為符號的遊戲的觀點也是不足取的. 亦即“形式主義者反對在數學的任何部分放進客觀內容，而從他們自己的假定出發，就必然地反對歷史上確定的那些數學領域的重要性及其內容”.試問 “一個關於無意義的符號遊戲，如何能對物理世界的過程具有內在的重要關係呢”?
