布里昂雄定理(Brianchon theorem)是射影幾何的著名定理之一，外切於一個非退化二級曲線的簡單六線形的三對對頂點的連線共點，此點稱為布里昂雄點。此定理是布里昂雄(C.J.Brianchon)於1806年發現的，它的逆定理也成立，即：若簡單六線形的三對對頂點的連線共點，則此六線形外切於一個二級曲線，若給定二級曲線的六條切線，則可得到60個不同的簡單六線形。根據布里昂雄定理，每一六線形有一個布里昂雄點，總共有60個布里昂雄點.這60個點所構成的圖形，稱為布氏構圖。布里昂雄定理提供了已知二級曲線上五條切線，用直尺求作這曲線上任意多條其他切線的作圖方法，布里昂雄定理與帕斯卡定理是互相對偶的。
基本介紹
- 中文名：布里昂雄定理
- 外文名：Brianchon theorem
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
- 提出者：布里昂雄(C.J.Brianchon)
定理及其簡史,定理的證明,特例及推廣,定理的套用,
定理及其簡史
布里昂雄定理與帕斯卡定理對偶，即將帕斯卡定理中的線換為點，點換為線即可得到：
布里昂雄定理 聯結外切圓的六邊形ABCDEF的相對頂點的三條對角線AD、BE、CF共點。
布里昂雄(Brianchon，1785-1864)也是法國數學家，他在21歲發現了上述定理。後來他又藉助於中心投影，把上述定理推廣到所有的圓錐曲線，從而得到一個像帕斯卡定理一樣在現代射影幾何中起奠基作用的定理，儘管布里昂雄定理與帕斯卡定理可以通過“點”、“線”互換相互導出，但在歷史上，布里昂雄定理要比帕斯卡定理晚一百五十餘年。
定理的證明
尋求布里昂雄定理的初等證明是一個吸引人的難題，蘇聯數學家斯莫戈爾熱夫斯基於1961年成功地解決了這個問題，1981年，日本的矢野健太郎(1912~)給出了另—個初等證明，下面分別給予介紹。
下面的證1是屬於斯莫戈爾熱夫斯基的，首先我們介紹一個引理。
引理 若P‘’、Q’是
在點P、Q處切線上的兩點，且在PQ同側，PP’=QQ’，則存在一個圓與PP’、QQ’分別切於P’、Q’，
圖1證明 作PQ的垂直平分線
，則整個圓形關於對稱，從而過點P’、Q’的垂線與交於同一點O’，以O’為圓心，O’P’為半徑的圓則與PP’、QQ'分別切於P'、Q’，引理得證。
圖2證法1 如圖2，ABCDEF是圓外切六邊形，R、Q、T、S、P、U為切點，在PF、QB、RB、SD、TD、UF延長線上分別取點P’、Q’、R’、S’、T’、U’，使PP’=QQ’=RR’=SS’=TT’=UU’，由引理存在
與PP’、QQ’切於P’、Q’；
與RR’、SS’切於R’、S’；
與TT’、UU’切於T'、U'，又由切線長定理有AR=AU，DT=DS，所以有AR’=AU’，DS’=DT’，即AD為
的等冪軸，同理BE為
的等冪軸；CF為
的等冪軸，設AD、BE交於O，則O與等冪，與等冪，所以點O也在CF上，即AD、BE、CF交於一點O，從而命題得證。
圖3證法2(矢野健太郎)如圖3，聯結RS、UT、QP，首先我們證AD、RS、UT交於一點。
過A作AX∥DS交RS於X，AY∥TD交TU於Y，則∠AXR=∠ESR=∠ARX，所以AX=RA，同理AY=AU，又AR=AU，所以AX=AY，設AD與RS交於M，AD與UT交於M'，則
，又DS=DT，AX=AY，所以
，即M與M’重合，從而AD、RS、UT交於一點M，同理有BE、RS、QP交於一點K，CF、QP、TU交於一點N。
設AD、BE交於O，過O作OW∥DT交TU於W，OV∥DS交RS於V，則OW=OV，過O作OI∥BR交RS於I，OJ∥BQ交QP於J，則Ol=OJ。
又∠OVI=∠RSE=∠ARS=∠OIV，所以OV=Ol，從而OW=OJ。設OC交QJ於N，OC交WT於N’，因為OJ∥QC，OW∥CT，所以
，又CQ=CT，所以
，即N、N’重合，OC、QJ、WT交於一點N，即有AD、BE、CF交於一點O。
圖4特例及推廣
首先考慮定理的特殊情況。
當外切六邊形某相鄰兩邊重合時，則其頂點變為切點，六邊形退化為五邊形，這時有
定理1 若五邊形外切於圓，則其中一邊的切點與相對頂點的連線與另兩對相對頂點的連線共點(圖5)。
圖5
圖6當有兩對相鄰的邊重合時，六邊形退化為四邊形，這時有
定理2 若四邊形外切於圓，則相對邊上切點的連線與兩對角線共點(圖6)；一條對角線與另兩個頂點的一個頂點與不相鄰一邊切點的連線和另一頂點與之對應一邊切點的連線三線共點(圖7)。
圖7
圖8當有三對相鄰邊重合時，六邊形退化為三角形，這時有
定理3 若三角形外切於圓，則每個頂點與對邊切點的連線這三線共點(圖8)。
下面是它的一個推廣。
定理4 若ABCDEF為一圓錐曲線的外切六邊形，則AD、BE、CF共點。
定理的套用
四邊形ABCD為
的外切四邊形，E、F、G、H為切點(圖9)，求證：
(1)AC、BH、DE共點；
(2)BG、DF、AC共點；
(3)AC、BD、HF、GE共點。
圖9證明 (1)將四邊形看成六邊形AHDCBE的退化情況，由定理2得AC、BH、DE共點P。
(2)將四邊形ABCD看成六邊形DGCFBA的退化情況，由定理2得BG、DF、AC共點Q。
(3)將四邊形ABCD看成六邊形AHDCFB的退化情況，得HF、BD、AC共點R。
又將四邊形ABCD看成六邊形AEBCGD的退化情況，得EG、BD、AC共點R，從而AC、BD、HF、EG共點。
