過△ABC的頂點A，B且與邊BC相切的圓，過頂點B，C且與CA相切的圓，過頂點C，A且與AB相切的圓，這三個圓相交於一點P。類似地，過A，B且與AC相切的圓，過B，C且與BA相切的圓，過C，A且與CB相切的圓，這三個圓也交於一點P’，稱P和P'為布羅卡爾點，在以上布羅卡爾點中，∠PAB=∠PBC=∠PCA，∠P'AC=∠P'CB=∠P'BA，上列等式中的六個角都相等，稱它為△ABC的布羅卡爾角。
基本介紹
基本介紹,例題解析,
基本介紹
布羅卡爾點(Brocard point)是刻畫三個圓相關位置的特殊點，在△ABC中，設C1是過C而切AB於A的圓，C2是過A而切BC於B的圓，C3是過B而切CA於C的圓；又設C1′是過C而切AB於B的圓，C2′是過A而切BC於C的圓，C3′是過B而切CA於A的圓，則C1，C2，C3三個圓交於一點Ω；C1′，C2′，C3′三個圓交於一點Ω′，點Ω和Ω′稱為△ABC的布羅卡爾點，Ω稱為正布羅卡爾點，Ω′稱為負布羅卡爾點，Ω與Ω′是△ABC的等角共軛點。布羅卡爾點具有性質：
∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA；
∠Ω′AC=∠Ω′CB=∠Ω′BA.
圖1布羅卡爾點當這六個角相等時，稱為△ABC的布羅卡爾角。研究布羅卡爾點的有關性質的幾何內容稱為布羅卡爾幾何，點Ω和Ω′是由克雷爾(A.L.Crelle)首先發現的，但當時並未引起人們重視，布羅卡爾(P.R.J.B.H.Brocard)於1881年向法國科學進步協會提交的論文《三角平面一個新圓的研究》宣布布羅卡爾圓的重新發現，並由此產生布羅卡爾點、布羅卡爾三角形等概念。
例題解析
【例1】 (1)證明：△ABC記憶體在這樣的點P，使得∠ABP =∠CAP =∠BCP。
(2)在△ABC的邊上向形外作相似於它的△CA1B，△CAB1和△C1AB(全部四個三角形第一個頂點的角相等，依此類推)，證明：直線AA1，BB1和CC1相交於一點，並且這個點與問題(1)中的點P重合。點P稱為△ABC的布羅卡爾點。類似可證，還存在第二個布羅卡爾點Q，對於它滿足∠BAQ=∠ACQ=∠CBQ。
提示 立刻解問題(2)。首先證明，直線AA1，BB1和CC1相交於一點，設△A1BC和△AB1C的外接圓相交於點O，則
∠(BO，OA) =∠(BO，OC) +∠(OC，OA) =∠(BA1，A1C) +∠(CB1，B1A) =∠(BA，AC1) +∠(C1B，BA) =∠(C1B，AC1)
即△ABC1的外接圓也過點O，所以
∠(AO，OA1) =∠(AO，OB) +∠(BO，OA1) =∠(AC1，C1B) +∠(BC，CA1) = 0°
也就是直線AA1過點O，類似可證，直線BB1和CC1過點O。
現在證明，點O與所求的點P重合，因為∠BAP=∠A-∠CAP，所以等式∠ABP =∠CAP等價於等式∠BAP+∠ABP=∠A，即∠APB =∠B+∠C，對於點O最後的等式是顯然的，因為它位於△ABC1的外接圓上。
【例2】(1)過△ABC的布羅卡爾點引直線AP，BP和CP，交外接圓於點A1，B1和C1，證明:△ABC≌△B1 C1A1。
(2)△ABC內接於圓S，證明：使直線PA，PB和PC與圓s的交點形成的三角形與△ABC全等的不同的點P不少於8個(假設直線PA，PB和PC與圓的交點不同於點A，B和C)。
提示 (1)我們證明，
，即AB= B1C1，實際上，
，而
，所以
。
(2)我們認為△ABC和△A1B1C1內接於一個圓中，並且△ABC是固定的，而△A1B1C1旋轉，直線AA1，BB1和CC1交於一點不比△A1B1C1的一個位置多，在此情況下可以產生12個不同的△A1B1C1類:△ABC和△A1B1C1可以使旋轉或軸對稱結合在一起；除此之外，三角形頂點的記號A1，B1和C1可以對照六種不同的方法。
這12類不同三角形中有4類永遠不能給出所求的點P，對於一致有向三角形的除去△ABC≌△A1B1C，△ABC≌△C1B1A1和△ABC≌△B1A1C1的情況(例如，在△ABC≌△A1B1C的情況，點P是直線BC與B1C1的交點且對圓切於點A = A1；△ABC和△A1B1C1此時重合)，對於相反定向的三角形除去
△ABC≌△A1B1C1的情況(在這種情況下AA1// BB1// CC1)。
註：布羅卡爾點對應於相反定向三角形；對第一布羅卡爾點△ABC≌△B1C1A1，而對第二布羅卡爾點△ABC≌△C1A1B1。
