左矢量

在量子力學中,所有的物理規律在一個希爾伯特空間中表示,而這個希爾伯特空間(可以簡易地先理解為無限維酉空間)中的一個矢量代表一個可能的物理態,這個矢量空間是右矢量空間;左矢量空間定義為右矢量空間的對偶(dual )空間。每一個右矢量都有一個左矢量與之對偶。

基本介紹

  • 中文名:左矢量
  • 外文名:bra
名稱,表示,性質,

名稱

其英文名的起源是將單詞braket分成了兩部分,bra表示左矢量,ket表示右矢量。

表示

一般而言,在量子力學中一個右矢量我們會採取如下記號:
在不同表象(representation )下,同一左矢量的表示也會不同,比如動量為p的平面波,我們標記其左矢量為<p|:
其在動量表象下的表示:
<p|p'>=
(p'-p)
其在坐標表象下的表示卻為:

性質

作為右矢量空間的對偶空間,左矢量空間也是希爾伯特空間,故而具有線性。
左矢量空間和右矢量空間在一起定義了內積運算,即:
這樣其構成一個酉空間。
值得注意的是,對於線性中的數乘而言,將不改變右矢量所代表的物理態,而考慮到幾率振幅的歸一化,一般我們都會選取歸一的右矢量,而其所對偶的左矢量也是歸一的:
我們認為算符作用在右矢量上相當於對其進行一次線性變換,類似地,我們也可以認為算符共軛地作用在左矢量上,即若:
則有:

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