局域勢場中分數階薛丁格方程的建立及其求解方法研究

《局域勢場中分數階薛丁格方程的建立及其求解方法研究》是依託南京航空航天大學，由董建平擔任項目負責人的專項基金項目。

基本介紹

• 中文名：局域勢場中分數階薛丁格方程的建立及其求解方法研究
• 項目類別：專項基金項目
• 項目負責人：董建平
• 依託單位：南京航空航天大學

項目摘要

包含Riesz分數階導數的分數階薛丁格方程[Phys. Rev. E, 66 (2002) 056108]是標準薛丁格方程的推廣，是在考慮自然界中比Guass分布更一般的對稱Lévy分布的基礎上，由Lévy路徑上的路徑積分所推導出來的，可描述更廣泛的複雜量子體系。求解分數階薛丁格方程是研究分數階量子體系的基本方法，但由於Riesz分數階導數是由Fourier變換來定義的，具有全局性，在套用到局域勢場時，存在物理解釋和數學處理上的雙重難度，目前尚無解決辦法。我們通過研究發現該問題的癥結在於原始的分數階薛丁格方程自身存在缺陷，本項目擬給出解決辦法。我們擬從原始的Lévy路徑積分出發，考慮局域勢場對路徑積分的拓撲限制，建立相應的路徑積分表達式，並由此導出相應的分數階薛丁格方程，將勢場對粒子運動的限制融入分數階運算元之中，並給出新方程的求解方法，突破現有的分數階薛丁格方程難以在局域勢場中套用的限制。

結題摘要

近年來分數階微積分進入了量子力學研究領域，用於研究複雜量子體系的粒子行為。分數階量子力學由建立在Lévy路徑積分基礎上的包含Riesz分數階導數的分數階薛丁格方程 [Phys. Rev. E, 66 (2002) 056108]所刻畫。這方面的開創性結果由加拿大多倫多大學的Nick Laskin教授得出。求解分數階薛丁格方程得出體系波函式和能級是研究分數階量子體系的基本方法，但由於Riesz分數階導數是由Fourier變換及其逆變換來定義，具有全局性，在套用到局域勢場時，存在物理解釋和數學處理上的雙重難度，目前尚無解決辦法。我們通過研究發現該問題的癥結在於Laskin導出的分數階薛丁格方程自身存在缺陷，該方程由路徑積分方式導出時未考慮實際勢場的局部性，從而導出含有全局性運算元的方程。本項目主要考慮如何克服分數階薛丁格方程在局域勢場中難以套用和求解的問題，做了如下工作：1. 精確導出了一維情形下具體的局域勢場，無限深方形勢阱中粒子的波函式和能級，解決了當前針對該勢場下波函式的爭議。我們通過研究局域勢場下的Lévy路徑積分傳播子和分數階薛丁格方程解之間的關係，不直接求解分數階薛丁格方程，而是間接通過求出局域勢場中的Lévy傳播子，來求出波函式和能級，避免了分數階運算元全局性的限制。 2. 研究了高維情形的分數階量子散射問題。散射理論和散射實驗常用來研究粒子間的相互作用和物質的內部結構。分數階量子力學框架下的散射理論可用於描述更廣泛的粒子散射問題。量子散射問題的勢場雖一般屬於局部勢場，但散射問題一般研究粒子運動到無窮遠處的性質，從而可以看作全局問題來研究。 我們通過考慮針對散射問題的二維及三維的分數階薛丁格方程的分數階格林函式及其近似性質，給出了散射波函式的近似解和各級修正結果。