尼奎斯特曲線

尼奎斯特曲線，又稱Nyquist曲線，是依據Nyquist穩定判據畫出的曲線，可用來判斷一個閉環系統是否穩定。用Nyquist穩定判據判斷反饋系統穩定性時，一般是繪製w從0到正無窮時的Nyquist曲線，然後按其包圈(-1，jw)點圈數N和開環傳遞的數在S右半平面上的極點數P，並根據Z=P-2N，確定閉環特徵方程正實部根的個數Z。如果Z為零，閉環系統穩定，否則，閉環系統不穩定。

基本介紹

• 中文名：尼奎斯特曲線
• 外文名：Nyquist curve
• 別稱：Niquist曲線
• 領域：自動化
• 釋義：據Nyquist穩定判據畫出的曲線
• 優點：清楚、直觀

簡化Nyquist穩定判據的描述

由於對於一個穩定的閉環系統來說，其在S右半平面肯定是無特徵根，即Z=0，因此，Nyquist穩定判據就可以這樣認為，若Nyquist曲線包圈(-1，j0)點的圈數等於開環傳函在S右半平面的極點數，則閉環系統穩定。進而，若開環傳函在S右半平面無極點，即P0，則閉環就穩定的充分必要條件是Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點。

Nyquist曲線的簡介

對於w的複變函數G(jw)有：

當ω從0→ 變化時，矢量G(jw)的端點在複平面上形成的軌跡叫作G(jω)的極坐標圖或Nyquist圖，該軌跡就是Nyquist曲線。

Nyquist圖的優點是：在概念分析上比較清楚、直觀，特別在分析系統穩定性上經常用到。Nyquist圖的缺點點是：極坐標圖畫起來複雜，運算也較繁瑣，要遵循矢量運算規則。

Nyquist曲線繪製步驟

Nyquist曲線繪製的大致步驟如下：

（1）寫出系統開環傳遞函式的頻率特性；

（2）確定開環幅相曲線的起點 ；

（3）確定開環幅相曲線的終點 ；

（4）確定開環幅相曲線與實軸是否有交點，若有，則該點的頻率特性虛部為零；

（5）確定開環幅相曲線與虛軸是否有交點，若有，則該點的頻率特性實部為零；

（6）勾畫出開環幅相曲線 的大致曲線(越精確越好)。

Nyquist曲線繪製的注意事項

(1) 若系統開環傳遞函式中出現積分環節，說明系統中有零極點，則應對Nyguist曲線進行修正後，才能使用Nyguist穩定判據進行判斷。若開環傳遞函式中有個積分環節，則先繪出的Nyguist曲線，然後從開始，逆時針方向補畫一個半徑為無窮大，相角為的大圓弧，即補畫的曲線，然後再根據Nyguist穩定判據判斷閉環系統的穩定性。

(2) G(jw)與G(-jw)關於實軸對稱，因此只需要w從的Nyguist曲線即可。

(3) 若存在多個環節，應注意隨著w的增加、角度的變化過程以決定Nyguist曲線的變化趨勢。

(4) 判據中的S的右半平面指的是開右半平面，不包括虛軸。

(5) 若Nyguist圖正好通過(-1，j0)點，則閉環系統存在虛軸上的極點，計算N時不視為一次包圍。如果求得Z=0，則閉環系統臨界穩定。

(6) Nyquist圖會同時存在既有逆時針包圍又有順時針包圍(-1，j0)點的情況。N>0表示逆時針包圍(-1，j0)點N圈，N<0表示順時針包圍(-1，j0)點N圈。

Nyquist曲線的穿越問題

根據不同的開環傳函Nyquist圖會同時存在既有逆時針包圍又有順時針包圍(-1，j0)點的情況。而Nyquist穩定判據中所提到的“逆時針包圍(-1，j0)點的圈數”是指逆時針包圍和順時針包圍圈數的代數和，即存在逆時針穿越和順時針穿越。

圖1 整次穿越圖

逆時針穿越：隨著w的增大，Nyquist圖逆時針穿越(-1，j0)點左側的負實軸，稱為逆時針穿越，如圖1(a)所示。

順時針穿越：隨著w的增大，Nyquist圖順時針穿越(-1，j0)點左側的負實Niquist圖包圍(-1，j0)點的圈數，是S平面上1+Q(s)包圍原點圈數的一半(Q(s)為系統開環傳遞函式，因此，1+Q(s)包圍原點的圈數為奇數時，Nyquist圖將會產生半次包圍(-1，j0)點的情況，會產生“半次穿越”，半次穿越記為1/2。

圖2 半次穿越圖

逆時針半次穿越：Nyquist圖起始於(或終止於)(-1，j0)點左側的負實軸，若沿逆時針方向離開負實軸，稱為逆時針半次穿越。如圖2(a)所示。

順時針半次穿越：Nyquist圖起始於(或終止於)(-1，j0)點左側的負實軸，若沿順時針方向離開負實軸，稱為順時針半次穿越，如圖2(b)所示。

用表示逆時針穿越和逆時針半次穿越次數之和，用表示順時針穿越和順時針半次穿越次數之和，則Nyquist穩定判據中的N可表示為。