封閉折線

封閉折線是一種幾何圖形，指一種特殊的折線。同一平面內，由不在同一直線上的幾條線段順次首尾相接所組成的圖形叫作折線，如果一條折線的首尾兩個端點重合，這條折線叫作封閉折線。

基本介紹

• 中文名：封閉折線
• 外文名：polygon
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（多邊形）

基本概念

不全在同一直線上的幾條線段順次首尾相接組成的圖形叫做折線(如圖1，圖2)。各線段稱為折線的邊或折線的節；折線各邊長之和稱為折線的長；各線段的端點稱為折線的頂點；相鄰兩個頂點稱為鄰頂點；不是兩條線段公共端點的兩個頂點都稱為折線的端點；兩端點重合(實際上即無端點)的折線稱為封閉折線(圖2)。組成折線的所有線段都在同一平面內的折線稱為平面折線，否則稱為空間折線。凡不相鄰的兩邊不相交的折線稱為簡單折線，把一條平面簡單折線的任一條邊向兩方延長成直線，如果能使這條折線的其他各邊都在這條直線的同側，那么這條平面折線稱為凸折線，連結非封閉折線的兩個端點的線段稱為折線的鎖線。

圖1 折線

圖2 封閉折線

封閉折線的基本性質

平面上一些線段順次首尾相接構成的圖形，稱為平面折線。下面約定，任何端點不在另外的線段上，構成折線的線段稱為邊，線段的端點稱為頂點，共邊兩頂點稱為相鄰頂點，如果折線每條邊都有兩條鄰邊，就稱為封閉折線，否則，稱為開折線。

定理1 n邊封閉折線有n個頂點；n邊開折線有n+1個頂點。

邊不相交的折線稱為簡單折線，簡單封閉折線稱為多邊形，多邊形將平面分為兩部分，其中有限部分稱為多邊形的內部，不難證明有:

定理2 n邊形內部可用不相交的對角線劃分為n-2個三角形。

定理3 n邊形內角和等於(n-2)π。

沿折線一條邊經頂點A走向鄰邊，如向左(右)拐，A就叫作邊AB的左(右)折點(圖3(a))，稱一端為左折點，另一端為右折點的邊(圖3(b))為單折邊，兩端均為左或右折點的邊(圖1(c))為雙摺邊，且前者為左旋邊而後者為右旋邊，易見，封閉折線的每個頂點，分別為兩鄰邊的左折點和右折點，封閉折線有如下特徵性質，

圖3

定理4封閉折線如果有雙摺邊,則雙摺邊成對、左右旋邊各半且相間排列。

定理5 多邊形P為凸的充要條件是P的所有邊均為單折邊。

定理6 若封閉折線有雙摺邊，則頂角和不定。

定理7 m階n邊星形頂角和θ(n，m) = (m+1)π。

下面t環單折邊封閉折線特徵是：當沿著它的邊界運動一周時，必繞某一中心旋轉t圈，如下圖中的折線分別1,2,3環。

圖4

定理8 n邊t環封閉折線項角和為σ(n，t) = (n-2t)π。其中，n = 3，4，5，...；t = 1，2，3，...。