《實解析撓率不變數的粘合公式》是依託復旦大學，由朱家林擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：實解析撓率不變數的粘合公式
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：朱家林
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
“Ray-Singer解析撓率”是整體微分幾何領域裡關於微分流形及其上的平坦向量叢的一個重要的解析不變數。與其對應的是代數拓撲中的“Reidemeister撓率”，著名的Cheeger-Müller定理指出這兩個不變數是等價的。1995年，Bismut-Lott推廣“Ray-Singer解析撓率”到纖維叢的情形得到了“Bismut-Lott實解析撓率形式”。申請人與其合作者將運用運算元的散射理論以及極熱極限的方法分別對“Ray-Singer解析撓率”以及“Bismut-Lott實解析撓率形式”的粘合性質展開研究，即當微分流形被一個緊的超曲面切割成兩個部分時，各部分相應的撓率和原來流形的撓率之間有怎樣的關係。該項研究有助於建立纖維叢上的“高階撓率不變數”的Cheeger-Müller定理。
結題摘要
Reidemeister於1930年引入了一個代數拓撲不變數“Reidemeister-撓率”。這是數學史上發現的第一個可以區分同倫等價的透鏡空間的不同的同胚類型的不變數。作為拓撲撓率的解析類比，Ray-Singer 於1971年對de Rham復形定義了一個解析的不變數“Ray-Singer撓率”，並猜測解析撓率與拓撲撓率是等價的。在酉表示的情形，Cheeger和Müller於1978年左右各自獨立的解決了Ray-Singer猜想，現在稱之為Cheeger-Müller定理。1992年，Bismut和張偉平院士合作證明了最一般情形的Cheeger-Müller定理。作為解析撓率在纖維叢情形的推廣，Bismut和Lott於1995年引入了解析撓率形式（BL-撓率）。Igusa-Klein於2002年引入了高階的拓撲撓率(IK-撓率)，從而推廣了Reidemeister-撓率。一個自然的問題：是否有高階版本的“Cheeger-Müller定理”, 即“BL-撓率”=“IK-撓率”？Igusa於2008年提出了兩條公理來刻畫這些不變數：1，轉移公理，2，加性公理。在相差纖維叢底流形上一個普適的上同調類的意義，任何滿足Igusa的兩條公理的高階撓率不變數都是等價的。同時，Igusa證明了IK-撓率滿足這兩條公理。2002年，麻小南教授證明了BL-撓率滿足“轉移公理”。由於BL-撓率的粘合公式可以導出“加性公理”，我們工作的動機和目的：證明BL-撓率的粘合公式，從而由Igusa的公理化導出：相差一個普適上同調類的意義下，BL-撓率和IK-撓率是等價的。我們主要研究: 當一個超曲面將原有的纖維叢“切割”成兩個新的帶邊的纖維叢時，“粘合公式”如何給出這三個纖維叢對應的BL-撓率之間的關係。首先，與Martin Puchol, 張野平合作利用散射矩陣的技術給出Ray-Singer撓率的粘合公式的一個純解析的新證明，該論文已被國際數學雜誌Analysis&PDE接受。然後，與Martin Puchol, 張野平合作，在一般情形下使用“極熱極限”和“Witten形變”的技術證明了Bismut-Lott解析撓率形式的粘合公式，該論文已完成、修改中。
