在複分析中，定義域著色是一種可以將複變函數可視化的一個資訊視覺化技術，是藉由在定義域上以色彩表示其函式值來表達函式圖形的方法，故稱為“定義域”著色。“定義域著色”一詞由法蘭克·菲莉絲（英語：Frank Farris）在1998年左右時命名。其上色方法有很多種，最常見的是色相環複變函數圖形，以其輻角值對應色相的顏色來上色，亦有使用其他色彩空間作為上色依據的定義域著色的複變函數圖形。早期有許多做法是將其輻角或相位利用對應色相的顏色以等值線的方式來呈現資料。 1999年，喬治·艾柏德和保羅·戈弗雷則使用了連續的顏色將點從定義域映射到值域或像平面，而在1997年以前，道格拉斯·阿諾德是使用著色的格線來呈現複變函數。威葛特·伊里亞斯也在其教科書詳細的介紹了一種定義域著色的一種變體——相點陣圖。
基本介紹
- 中文名：定義域著色
- 外文名：Domain coloring
- 分類：數理科學
動機,維度不夠,複數可視化的模式,繪製方法,色相環複變函數圖形,
動機
維度不夠
實數值函式f: ℝ → ℝ(例如f(x) =x) 可以被繪製在二維平面的直角坐標繫上。
複數值函式g: ℂ → ℂ雖然只有一個變數，但是因為是複數，因此需要使用複數高斯平面才能呈現。高斯平面是一個二維的空間，而要表示的定義域和值域也都是複數，因此各需要2個維度，因此要完全呈現複變函數圖形需要使用四維空間才能呈現，這使得複變函數難以在三維空間中可視化。有一種描述全純函式的方式是使用黎曼曲面。
複數可視化的模式
給定一個複數
，其可以被表示為
形式，也可以表示成
，其輻角
是一個角度值，可以使用有周期性的資料表示，例如顏色的色調，其模
可由強度或強度變化表示。色調的排列是任意的，但通常會以色相環的色調為主，例如色相環複變函數圖形。有時複數的輻角會由特定的梯度表示，而不使用色調錶示
繪製方法
定義域著色有很多種呈現方式，例如以等值線或格線上色，也有使用連續顏色上色。
下圖顯示了正弦函式w= sinz，實軸從−2π到2π、虛軸從−1.5到1.5。
色相環複變函數圖形
複數的輻角（角度）以色相來表示，而模量（絕對值）以HLS色彩模型（色調、亮度、飽和度）中的亮度來表示；對於給定的（H, L）數對，在這個模型中選擇最大飽和度值來呈現指定的複數。這幾種上色方式，最鮮艷的顏色以旋轉的方式出現在複數高斯平面的單位圓上，根據面兩種定義，1的六個六次方根（從1開始、逆時針）顏色分別為紅色、黃色、綠色、青藍、藍色和洋紅。此外，在這種配置上，兩個非常接近的複數其亮度值也會非常接近，若其輻角相同，則絕對值較大者，根據第一和最後一種定義，其顏色會較淺；根據第二種定義，其顏色會較深，反之亦然。
然而，HSL色彩空間在視覺上並不均勻，而導致在黃色、青色和品紅色表達的複數出現亮度差異的條紋，即使其絕對值與紅色、綠色和藍色相同條紋仍明顯可見，在單位圓上（{\displaystyle L={\frac {1}{2}}}）附近也可以見到一圈明顯的暈圈。Lab等色彩空間更加接近人類感知，可以校正HSL的不均勻問題，使圖像視覺上更準確、更加柔和。
