奧倍爾定理(Auber theorem)是關於共線點的一個定理，通過△ABC的三頂點引互相平行的三條直線，它們和△ABC外接圓的交點分別為A′，B′，C′，若在△ABC外接圓上取一點P，設PA′，PB′，PC′與△ABC的三邊BC，CA，AB或其延長線的交點分別為D，E，F，則D，E，F三點在同一條直線上。
基本介紹
- 中文名：奧倍爾定理
- 外文名：Auber theorem
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（共線問題）
- 簡介：關於共線點的一個定理
基本介紹,定理的證明,
基本介紹
通過△ABC的項點A、B、C引互相平行的三條直線，設它們和△ABC的外接圓的交點分別為A’、B'、C'，在△ABC的外接圓周上取一點P，設PA'、PB'、PC'與△ABC的三邊BC、CA、AC或其延長線的交點分別為D、E、F，則D、E、F三點在同一直線上(圖1)。
圖1定理的證明
圖2首先請注意，因為A、A'、P、C四點在同一圓周上，所以
∠PCE=∠AA'P， (1)
其次，因為AA'//BB'，如果設PA'和BB'的交點為Q，則有
∠AA'P= ∠BQD.
從這兩個式子，有
∠PCE=∠ BQD.
另一方面，因為∠CPE和∠CBB'是同一弦CB'所對的圓周角，所以
∠CPE=∠CBB'.
將這兩式相加，
∠PCE+∠CPE=∠BQD + /CBB'，
即如把CE的延長線記作CER，則
∠PER=∠PDC.
這說明P、D、C、E四點在同一圓周上，由此，
∠PCE=∠ PDE. (2)
從(1)、(2)兩式，有
∠AA'P=∠PDE.
這表示AA' // DE。完全同樣地，可以證明AA' //DF，據此，D、E、F三點在同一直線上。
另外，在奧倍爾定理中，假設有PA'⊥BC 成立(圖2)。這時，如設BA'的延長線為BA'S，因為AA'// BB'，所以
∠SA'A=∠A'BB'.
但是因為A'、B、C、A四點在同一圓周上，所以
∠SA'A=∠ACB.
又因為∠A'BB'和∠A'PB'是同一弦A'B'所對的圓周角，所以
∠A'BB'=∠A'PB'，
於是
∠ACB=∠A'PB'.
這個式子表示P、D、C、E四點在同一圓周上。但因為∠PDC=∠R，所以∠PEC=∠R。
同理可證∠PFB=∠R。
於是，在PA'⊥BC的情形，奧倍爾定理成為西摩松定理。
