採樣定理

定理說明

採樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。

在進行模擬/數位訊號的轉換過程中，當採樣頻率fs.max大於信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>2fmax)，採樣之後的數位訊號完整地保留了原始信號中的信息，一般實際套用中保證採樣頻率為信號最高頻率的2.56～4倍；採樣定理又稱奈奎斯特定理。

如果對信號的其它約束是已知的，則當不滿足採樣率標準時，完美重建仍然是可能的。在某些情況下（當不滿足採樣率標準時），利用附加的約束允許近似重建。這些重建的保真度可以使用Bochner定理來驗證和量化。

1924年奈奎斯特(Nyquist)推導出在理想低通信道的最高碼元傳輸速率的公式。

1928年美國電信工程師H.奈奎斯特推出採樣定理，因此稱為奈奎斯特採樣定理。

1933年由蘇聯工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴格地表述這一定理，因此在蘇聯文獻中稱為科捷利尼科夫採樣定理。

1948年資訊理論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確地說明並正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農採樣定理。採樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時域採樣定理和頻域採樣定理。

採樣定理在數字式遙測系統、時分制遙測系統、信息處理、數字通信和採樣控制理論等領域得到廣泛的套用。

頻帶為F的連續信號f(t)可用一系列離散的採樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...來表示,只要這些採樣點的時間間隔Δt≤1/(2F)，便可根據各採樣值完全恢復原來的信號f(t)。這是時域採樣定理的一種表述方式。

時域採樣定理的另一種表述方式是：當時間信號函式f(t)的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列採樣間隔小於或等於1/(2fM)的採樣值來確定,即採樣點的重複頻率f≥(2fM)。圖為模擬信號和採樣樣本的示意圖。

時域採樣定理是採樣誤差理論、隨機變數採樣理論和多變數採樣理論的基礎。

對於時間上受限制的連續信號f(t)（即當│t│>T時,f(t)=0,這裡T=T2-T1是信號的持續時間），若其頻譜為F（ω）,則可在頻域上用一系列離散的採樣值來表示,只要這些採樣點的頻率間隔ω≦π / tm 。

採樣定理通常針對單個變數的函式進行公式化。因此，定理可直接適用於時間相關的信號，並且通常在該上下文中公式化。然而，採樣定理可以以直接的方式擴展到任意多個變數的函式。