奇偶位差法定理：奇偶位差法就是奇數位與偶數位的差是11的整數倍的自然數可以被11整除。
基本介紹
- 中文名：奇偶位差法
- 前提：奇數位與偶數位的差
- 特點：11的整數倍的自然數可以被11整除
- 領域：數學
- 作用對象：自然數
- 使用運算：減法、除法
套用,解釋,
套用
例：（1）4398
4+9=13
3+8=11
13-11=2
4398不可以被11整除
（2）1837
1+3=4
8+7=15
15-4=11
1837可以被11整除
（3）48321
8+2=10
4+3+1=8
10-8=2
48321不可以被11整除
解釋
考慮一個數與11相乘
令x=abcde*11 分析x的特徵
abcde
* 11 ......(1)
= abcde
abcde
=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e
若各位相加都沒進位 則奇數位和-偶數位和=0
若只有d+e有進位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e
很明顯此時 奇數位和-偶數位和=11
若只有c+d有進位 a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e
很明顯此時 奇數位和-偶數位和=-11
繼續推下去可知
對於1式的乘法，當奇數位有進位而與他相鄰的高位沒有進位時 此時 奇數位和-偶數位和=-11
當偶數位有進位而與他相鄰的高位沒有進位時 此時 乘積結果的奇數位和-偶數位和=11
若奇數位和偶數數都有進位，那么所得乘積結果的奇數位和-偶數位和(各位數字相加)就取決於是奇數位和(乘法相加時)進位的多還是偶數位和進位的多
也就是說能被11整除的數總有這么一個特徵，他的奇數位和-偶數位和(各位數字相加)是11或-11的正整數倍，或者是0，也就是能被11整除
反過來，1個具備這樣特徵的數(目標數)是否一定能被11整除，下面給予證明 要通過一個目標數找到原數(目標數/11)
假設目標數為abcde 若奇數位和-偶數位和(各位數字相加)是11或-11的正整數倍或0
比較原數的某位與目標數的鄰高位 很明顯原數的最低位一定是目標數的最低位
比如 9856 ， 原數一定是***6 先比較5和6
對於最低位，若次低位(目標數)>最低位(原數)
則可知原數次低位是目標數次低位-最低位(原數)
若次低位<最低位
則可知原數次低位是目標數次低位+10-最低位(原數)
然後比較原數的次次低位與目標數次低位
這樣依次下去，就會找到原數
也就是說滿足這樣一個條件的數，經過一定步驟的運算，就能找到它被11除的數
因此，奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(包括0)就可以推出這個數能被11整除.
