大稀疏鞍點問題的快速疊代算法研究

《大稀疏鞍點問題的快速疊代算法研究》是依託華南師範大學，由彭小飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：大稀疏鞍點問題的快速疊代算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：彭小飛
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

鞍點問題具有極其廣泛的套用背景，如何有效地求解這類問題一直成為計算數學界的研究熱點。本項目主要研究大型稀疏鞍點問題的快速疊代算法。具體內容包括: 構建新的疊代算法,特別是奇異鞍點問題的超鬆弛疊代算法；定義新的範數，從範數的角度對新疊代算法的收斂性及最優參數進行深入研究; 設計新的預條件子, 其重點在於研究物理型和矩陣型兩類預條件子, 並擬從最小多項式和值域的角度對這兩類預條件子作細緻的理論分析; 針對鞍點系統的特殊性，給出Krylov子空間新的構建方法及相應Krylov子空間方法的新的理論結果; 分析新算法的穩定性與敏感性。本項目旨在促進鞍點問題最新方法的研究, 為更有效地求解鞍點問題提供更多更好的方法與理論。本項目的開展也能促進疊代法的進一步發展, 充實和完善疊代算法的理論。因此本項目的立項無論對工程和科學計算還是對計算數學本身的發展都有非常重要的理論和實際意義。

結題摘要

本項目著眼於研究流體力學中的Navier-Stokes方程和偏微分方程邊值問題的求解，所獲得的研究結果包括三方面內容：（1）構建了新的疊代算法；（2）設計了新的預條件子；（3）給出了鞍點系統的穩定性和敏感性分析。 在第一方面，基於係數矩陣的分裂疊代，給出了鬆弛疊代方法。特別是構建了針對奇異問題的最優疊代算法。 在第二方面，從不同的角度，分別設計了兩類可以將非對稱或不定系統轉換為對稱正定系統的預條件子。特別是研究了不同預條件子間的關聯性，給出了高效預處理的可行策略。 在第三方面，依據鞍點矩陣特有的結構，利用新的策略，給出了鞍點系統的穩定性和敏感性分析。