大地線

大地線（Geodesic Lines）是指地球橢球面上兩點間的最短程曲線。

基本介紹

• 中文名：大地線
• 外文名：Geodesic Lines
• 所屬學科：大地測量學

基本概念

定義

大地線（Geodesic Lines）是指地球橢球面上兩點間的最短程曲線。

在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點的密切面（無限接近的三個點構成的平面）都包含該點的曲面法線”，亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。

模型

假如在橢球模型表面 A, B 兩點之間，畫出相對法截線如圖1，然後在A，B 兩點上各插定一個大頭針，並緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，並設橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位於相對法截線之間，如圖1所示，這就是一條大地線，由於橡皮筋處於拉力之下，所以它實際上是兩點間最短線。

圖1-大地線示意圖

相對法截線

假設經緯儀的縱軸同 A，B 兩點的法線 An_a和Bn_a 重合（忽略垂線偏差），如此以兩點為測站，則經緯儀的照準面就是法截線。用A 點照準B 點，則照準面An_aB 同橢球面的截線為 AaB，叫 A 點的正法截線，或 B 點的反法截線；同樣由 B點照準 A 點，則照準面Bn_bA 與橢球面的截線為 BbA ，叫B 點的正法截線，或 A 點的反法截線。因法線 An_a 和 Bn_b 互不相交，故 AaB 和 BbA 這兩條法截線不相重合。AaB 和 BbA 叫做 A，B 兩點的相對法截線。註：n_a 與n_b分別是 A ，B 兩點法線與短軸的交點。

圖2-相對法截線示意圖

用途

當A，B兩點位於同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面A，B，C三點處所測得的角度（各點上正法截線之夾角）將不能構成閉合三角形，見圖3。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構成的單一的三角形。

圖3

性質

1. 大地線是橢球面上兩點間的最短線。
   
2. 大地線是無數法截線的連線。
   
3. 橢球面上的大地線是雙重彎曲的曲線。
   
4. 大地線位於相對法截線之間。
   
5. 不在同一子午圈與同一平行圈上的兩點的正反法截線是不重合的，他們之間的夾角為△，在一等三角測量中可達到千分之四。大地線是兩點間最短線，而且位於相對法截線之間，並靠近正法截線（如圖1），它與正法截線的夾角
   

方程式

大地線微分方程

如圖4，設 p 為大地線上任意一點，其經度 L ，緯度為 B，大地線方位角為A 。當大地線增加 dS 到p₁點時，則上述各量相應變化 dL ， dB 及 dA。所謂大地線微分方程，即表達dL，dB，dA各與dS 的關係式。

圖4