多複變函數論在非交換非結合領域的推廣

《多複變函數論在非交換非結合領域的推廣》是依託中國科學技術大學，由任廣斌擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：多複變函數論在非交換非結合領域的推廣
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：任廣斌
• 依託單位：中國科學技術大學

中文摘要

Hermitean Clifford分析是多復變的推廣，也是古典的Clifford分析的復化。 2012年Sommen等建立了古典Clifford分析的四元數化理論，發現了由四元數twist Hermitean Dirac 運算元族構造出的類似多復變d-bar運算元的循環矩陣值運算元具有平行的Cauchy積分理論， 推廣了多復變中的Matinelli-Bochner積分公式，給出了相應的Hilbert變換理論。一個公開問題就是如何將這一理論從四元數化推廣到一般情形，包括Clifford代數、八元數、 擬四元數等情形，這正是我們的研究內容。這一公開問題的解決將為微分流形理論提供類似於復結構和四元數結構的八元數結構和Clifford代數結構，為偏微分方程理論提供類似於多復變的d-bar運算元， 從而為微分幾何和複分析注入新的活力，也為Cliffod分析奠定自身的地位。

結題摘要

本課題系統地研究了非交換非結合的多復變。關於切片Clifford分析中的切片Dirac運算元， 建立了四元數版本的Julia引理，修正了教科書中的相關錯誤。切片Clifford分析理論的重要意義在於它產生了S-譜理論，由於四元數版本的自伴運算元的S-譜是實值的, 因此該理論在四元數量子物理中具有重要的套用價值。首次開展了多元八元數理論的研究，具體地構造出Bochner-Martinelli核函式積分公式、發現了Hartogs現象。根據宇宙模型的M理論，宇宙是4維Minkowski空間與微小直徑的G2流形的直乘積，其中G2是八元數的自同構群， 因此多八元數理論的研究具有重要的理論意義。將四元數Hermtian Clifford分析從四元數版本推廣到其它代數情形， 例如仿復結構， 建立了相應的Cauchy積分理論。研究了根源於物理的k-Cauchy–Fueter運算元理論。 以前的研究工具基於正合序列和彭羅斯變換。我們首次引入了研究該運算元理論的分析方法，其優勢在於它使得我們建立了相應的Bochner-Martinelli積分核的顯示表達式，為該理論的進一步發展奠定基礎。經過四年的研究，本項目發表有標註論文24篇，其中SCI收錄20篇，主要代表作發表在Trans. Amer. Math. Soc. 以及Pacific J.Math.等重要學術期刊上。培養畢業博士5名，其中1人獲得中科院院長特別獎。