《多維離散信號的矩體表示及運算》是依託清華大學，由鄒紅星擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多維離散信號的矩體表示及運算
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：鄒紅星
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
項目的研究目標，是建立多維離散信號的矩體表示及運算理論，並用該理論解決多維離散信號的分割、壓縮、識別等問題，以期取得較之現有方法更好的處理和識別結果。主要研究內容為：.① 定義矩體的運算規則；.② 矩體的初等變換、標準形和不變數理論；.③ 矩體的變換和分解理論；.④ 矩體數值計算理論及擾動分析；.⑤ 矩體表示及運算在視頻信號、生物醫學圖象序列、高光譜數據等多維離散信號的分割、壓縮、濾波、特徵提取、模式識別等中的套用。
結題摘要
項目定義並研究了矩體的表示、運算及分解理論，取得的成果主要有： （1）給出了矩體的嚴格定義，並定義了矩體的加法、數乘運算。鑒於矩體乘法是建立矩體理論的基礎，給出了矩體乘法的定義。證明了矩體乘法具備矩陣乘法相似的性質，如乘法結合律、數乘結合律、分配律等。研究得出矩體乘法具有多維空間的幾何意義和代數意義。 （2）給出了特殊矩體及相關定義：單位矩體、矩體的逆、廣義逆、矩體的轉置、偶、奇數體、方體、對角體、對稱體、正交體。為便於矩體性質的研究，提出了矩體的完全展開、低展開和高展開的定義。將三維、四維甚至更高維的矩體空間映射到二維空間中，便於研究多維矩體的性質。 （3）提出了矩體的三種標量函式：矩體的秩、矩體的跡和矩體的範數。研究了三種標量函式的性質，發現三個概念與矩陣中該概念有著極強的相似性。定義了矩體的 維向量、矩體的 維秩和矩體的內積。 （4）提出了矩體的奇異值分解（SVD）。奇數維矩體SVD有兩種形式，偶數維矩體SVD有一種形式。分析了矩體SVD在高維中的3種形式，實現了形式上的統一。提出了矩體奇異值、奇異矩體、截尾奇異值分解的概念。分析了矩體SVD的性質，矩體奇異值與範數的關係。對比了矩體SVD與矩陣SVD。研究了矩體SVD的擾動理論。提出並證明了矩體奇異值的穩定性、轉置不變性、旋轉不變性。提出了矩體的特徵值分解。與矩體SVD不同，矩體特徵值分解僅有一種形式。提出了矩體特徵值和特徵矩體的概念。分析研究了矩體特徵值的性質。 （5）探究了矩體理論與Tensor理論的區別。從乘法的定義、乘法的意義、奇異值分解等幾個方面分析了矩體理論的優勢。從研究中看出，矩體乘法的定義更為合理，更具有幾何、代數意義。矩體SVD得到的核矩體為對角體，得到的奇異向量更能反映原矩體的特徵。（ 6）仿真實現了矩體SVD的四個套用實例：基於矩體SVD的PSNR實驗，基於矩體SVD的水印識別，矩體SVD與Wiener濾波的去噪比較，矩體SVD在人臉識別中的套用。分析比較了矩體SVD和Tucker SVD的識別效果。理論分析和數值試驗的結果表明，就處理多維圖像序列而言，矩體SVD會得到比矩陣SVD和Tucker SVD更好的處理效果。
