多值拓撲中對偶結構的非對稱性研究

《多值拓撲中對偶結構的非對稱性研究》是依託中國海洋大學，由陳丕煒擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：多值拓撲中對偶結構的非對稱性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陳丕煒
• 依託單位：中國海洋大學

中文摘要

本項目致力於探討多值邏輯真值表的邏輯結構與多值空間結構性質之間的內在聯繫。通過現有結論的對比發現，以quantale為值格的多值環境下的拓撲結構和余拓撲結構在某些性質上呈現非對稱性，這與經典情形下二者是等價的數學概念不同。在本項目中，我們擬從基本空間性質和範疇性質等方面深入探討多值對偶結構在性質上的差異，以確立對偶結構具有非對稱性是格值拓撲學的一個普遍的基本特徵。進一步通過考察對偶真值表上對偶多值結構的在具體性質上的關係，嘗試建立關於格值拓撲學所關注的多對對偶結構的基本原理以刻畫它們在一般性質上的內在聯繫。預期結果將為相關理論的推廣和套用提供基礎性的方法。

結題摘要

格值拓撲學作為經典拓撲學的推廣進行研究取得了豐碩的成果，與多值邏輯相結合又賦予了其新的生命力。研究表明多值邏輯真值表的邏輯結構與多值拓撲空間的性質有著密切的聯繫。基於這樣一個背景本項目展開研究。通過引入有限值空間的概念，刻畫了弱滿層 L-(余)拓撲空間範疇和強 L-(余)拓撲空間範疇中有限空間的反射包，得到結論：當 L 是帶有 Lukasiewicz 三角模或乘積三角模的單位區間，有限值的強 L-拓撲空間範疇是有限空間在強 L-拓撲空間範疇的反射包；對於 L 是帶有任意連續三角模的單位區間，有限值的強 L-余拓撲空間範疇是有限空間在強 L-余拓撲空間範疇的反射包。說明多值拓撲結構不只是經典拓撲結構的簡單推廣，它在很多性質的表現上與經典情形有明顯差別，多值情形下的拓撲結構和余拓撲結構不再等價，它們在很多性質的表現上呈現非對稱性，真值表的結構可以影響多值拓撲空間的性質，反之多值拓撲空間的性質也可以反映真值表的結構。通過引入有限生成的 L-fuzzy 拓撲空間的概念，刻畫了 L-fuzzy 拓撲空間範疇中有限空間的余反射包，說明了經典意義下等價的數學概念（如 Alexandroff 空間和有限生成空間）在多值意義下可以不再等價並具有各自獨立的含義，這是多值拓撲學有別於經典拓撲學的一個基本特徵。藉助於直覺模糊集中非隸屬度的概念，建立了以余 quantale 為真值表的多值拓撲空間、預序集等數學概念，並通過性質的研究說明了在以余 quantale 為真值表的多值環境下，余拓撲結構也較拓撲結構具有更好的性質表現。通過歸納總結給出了基於對偶真值表 quantale 和余 quantale 的對偶結構關於對應性質的一般規律。藉助 T-濾子引入了 T-收斂空間的概念，並通過研究相關的範疇性質，建立了當 L 是完備的 MV-代數時強 L-拓撲空間與 T-收斂空間的穩定聯繫。