壓縮感測中循環測量的理論與算法研究

《壓縮感測中循環測量的理論與算法研究》是依託南京大學，由楊俊鋒擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：壓縮感測中循環測量的理論與算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊俊鋒
• 依託單位：南京大學

項目摘要

近年來，隨著信息技術的快速發展，人們對高頻信號的處理需求愈來愈大。由於受Shannon-Nyquist採樣定理的限制，對於高頻信號的採樣與重建過程十分具有挑戰性。壓縮感測是一種新興的利用信號稀疏性與可壓縮性的信息獲取與處理技術。.本項目旨在研究壓縮感測中循環測量的理論與快速重建算法。由於從不完全測量中尋找最稀疏的信號是一個高度非線性的最佳化問題，純隨機採樣給計算帶來很大困難。本項目中，我們（1）通過理論分析與數值實驗的方法對各種循環測量矩陣與稀疏變換之間的非相關性進行系統研究，並建立重建稀疏信號所需循環測量的下界；（2）設計能夠充分利用循環結構以及快速Fourier變換的數值計算方法從不完全測量以及各種正則化模型中恢複目標信號；（3）利用問題的結構特性，在理論分析與計算實踐相結合的基礎上，編寫高效的可供工程技術界套用的軟體程式。

結題摘要

本項目以壓縮感測中循環結構測量為主題對其中的結構型最佳化問題深入展開理論與算法研究，取得了重要的研究成果，已在國際期刊上發表7篇學術論文，其中5篇發表在SIAM系列、Mathematics of Computation、Inverse Problems and Imaging等有重要國際學術影響的期刊上，另有1篇論文已被Journal of Optimization: Theory and Applications接受。 通過該項目研究，主要取得如下成果。第一，提出並研究了求解壓縮感測問題中L1問題的交替方向算法，並受到廣泛關注。在該研究的驅動下，此類算法越來越受到更廣泛的關注，並已套用到諸多領域，包括圖像與信號處理、矩陣補全、機器學習等。第二，研究了線性化的交替方向法，並套用於矩陣補全問題。第三，將研究成果推廣到了更廣泛的問題，包括圖像重建，稀疏低秩矩陣分解等。第四，為克服交替方向法等一階算法對參數的敏感性，提出並研究求解Group Lasso問題的臨近點算法，子問題套用高階算法求解，取得了良好的數值效果。另外，我們已將解壓縮傳中L1問題的交替方向法編寫成了軟體包，可以供工程界使用。該軟體包自2011年至今已先後被下載累計3000餘次，這充分說明了該算法套用的廣泛性。求解Group Lasso問題的臨近點算法軟體包還在調試與改進中，目前尚未公開。 上述研究成果的主要意義在於，提出並研究了簡單、易於實現和推廣的一階算法，在一些對解的精度要求不是太高，而對處理速度要求苛刻的領域中有著廣泛的套用前景。另外，當解的精度要求較高時，我們提出的數值穩定、穩健的PPA算法既有理論上的收斂性保證，又有著更好的數值表現，在相關套用中可以發揮重要作用。