增乘開平方法

簡介

增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來。

增乘開平方法，以商數乘下發遞增求之。商第一位。上商得數以乘下發為乘方。命上商除實。上商得數以乘下發入乘方。一退為廉，下法再退。

商第二位。商得數以乘下發為隅。命上商除實訖。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商數。

商第三位。用法如第二位求之

把待開方數賦值給變數實。

廉：0；

下法：以100為底，不大於實的最大幕數（主要是為了把實以每2個數分為一組設定）

商：0；

步驟1：估商（x）,求最大的整數x（商）使得：

(廉+x)*x <= 向下取整(實/下法)， 0<=x<=9

（估出的x（商）即為開方後當前位的數值，）

步驟2：更新廉：新廉=廉+x

步驟3：更新實：新實=實-廉*x，若新實為0則表明開方完畢。

步驟4：再次更新廉：新廉=廉+x

步驟5：更新廉與下法：

新下法=下法/100（下法再退）

新廉=廉*10（與術文有差異，因為古法用算籌，現在用筆算，廉向下退一位，但相對於下法其實是進一位）

步驟6：以當前的下法，廉，實復上述步驟1~5，以求下一位的商，直到實=0或者達到要求的開方精度。

下行的步、十、百、千、萬分離出來變為算籌的位值標籤；上行七一八二四成為十進位制數碼。

然後將算籌碼依次排在相應的位值標籤步、十、百、千、萬之下：

楊輝以七萬一千八百二十四為例，列出詳細算草。算草分四行，被除數放在第二行，稱為實，第一行是商，第四行為下法，第三行是廉。將算籌放在第四行萬字之下。

初始	楊輝算草
計算（第一輪）
經過步驟1，2，3後的算籌結果： 1估計第一個商數得2，將安置在第一行百位置之上。 2將上商2乘下法1，得數2，放在第三行廉。 3跟新實，實-廉商數下法（算籌中廉數是乘下法後的數，所以不用再乘下法） 7-2*2=3	楊輝算草
經過步驟4，5後的算籌結果： 4跟新廉=2+2=4 5下法與廉下移退下法兩位，退廉1位	楊輝算草
步驟6，進入第二輪計算商的下一位置，重複步驟1~5
進過步驟1，2 1估商得6 2跟新廉：40+6=46	楊輝算草
步驟3，跟新實 318-6*46=42	楊輝算草
步驟4，更新廉 46+6=52	楊輝算草
步驟5，6，並進入下一輪步驟1，2 5，更新下法與廉退下法兩位，退廉1位 6，1估商為8 2，跟新廉：520+8=528	楊輝算草
步驟3，跟新實後實為0，開方完畢	楊輝算草
算草上的商即為開方後的結果：268

用增乘開平方法得到的解：