基本介紹
定義 給定正整數t,v,k,λ,設X為一個v元集,A為由X的k元子集(稱為區組)所組成的子集族,若X的任意一個t元子集都至多包含在λ個區組中,則稱(X,A)為一個t-(v,k,λ)填充設計(packing design)。令
Pλ(v,k,t)={max b |存在區組數為b的t-(v,k,λ)填充設計), (1)
Pλ(v,k,t)叫做填充數(packing number)。若(X,A)是區組數為Pλ(v,k,t)的t-(v,k,λ)填充設計,則叫做最大(或最優)t-(v,k,λ)填充設計,通常將P1(v,k,t)記作P(v,k,t)。
例題解析
【例1】設X=Z10,
A:{0,1,2,3},{o,4,5,6},{1,4,7,8},{2,5,7,9},{3,6,8,9},
B:{0,1,2,9},{0,3,4,8},{0,5,6,7},{1,2,3,4},{1,2,5,6},
{1,2,7,8},{3,4,5,6},{3,4,7,9},{5,6,8,9}.
則(X,
A)是一個2-(10,4,1)填充設計,(X,
B)是一個2-{10,4,1}
覆蓋設計,設
A'為
A的任一子集,則(X,
A')也是2-(10,4,1)填充設計。設
B'為在
B中添加X的若干4元子集而得,則(X,
B')也是2-(10,4,1)覆蓋設計。
【例2】若t-(v,k,λ)設計存在,則它既是最大t-(v,k,λ)填充設計,又是最小t-(v,k,λ)覆蓋設計。
設x為實數,用[x]表示不超過x的最大整數,[x]為不小於x的最小整數,令
當λ=1時,將U
1(v,k,t)記作U(v,k,t),將L
1(v,k,t)記作L(v,k,t)。
相關定理
關於填充數Pλ(v,k,t)的上界和覆蓋數Cλ(v,k,t)的下界。我們有如下結果。
定理1(Schönheim界)
證明 顯然有
即當t=1時結論成立,今設t≥2,(X,
A)為一個t-(v,k,λ)填充設計。對任意x∈X,
A中包含x的全體區組去掉點x後作成
上的一個
填充設計,因此其區組數
。因此有
,從而由式(3)及歸納法即得式(1),同理可得
由式(4)及歸納法得式(2),從而即得結論。
當t=2時,H.Hanani進一步證明了以下結論。