《基於Pontryagin最大值原理的某些偏微分方程的參數誤差估計》是依託武漢大學，由王麗娟擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於Pontryagin最大值原理的某些偏微分方程的參數誤差估計
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王麗娟
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
分布參數系統的最優控制理論研究在實際中的套用已越來越引起了人們的重視。本項目擬運用分布參數系統最優控制的Pontryagin最大值原理開展某些偏微分方程的參數誤差估計研究，這些方程包括：橢圓方程，拋物方程以及Stokes方程，其中參數出現在這些方程中的高階項。該問題是反問題中的一類重要問題，在工程與醫學上有廣泛的套用背景。目前，關於該問題的研究尚處於起始階段。我們將這些方程中待識別的參數視為控制，將利用Tikhonov正則化方法得到的極小化問題與其離散後的極小化問題分別視為最優控制問題及其離散後的最優控制問題，建立它們相應的Pontryagin最大值原理，然後借用Pontryagin最大值原理，得出參數的誤差估計。這是人們以往研究偏微分方程的參數誤差估計從未用過的方法。
結題摘要
分布參數系統的最優控制理論研究在實際中的套用已越來越引起了人們的重視。本項目首先研究了二階橢圓方程與拋物方程的參數識別問題，其中參數出現在這些方程中的高階項。該問題是反問題中的一類重要問題，在工程與醫學上有廣泛的套用背景。我們利用Tikhonov正則化方法將原參數識別問題化為極小化問題，然後利用有限元將其離散，通過分析，得到了待識別參數關於格線大小、時間步長、正則化參數以及擾動大小的誤差估計。其次，本項目研究了對於帶有終端狀態約束的熱方程的最優控制問題的有限元逼近問題，其中，狀態約束集合在狀態空間中無內點。針對此問題，我們提出了一種新的有限元逼近方法：通過構造一個新的罰泛函，其中的參數與格線大小以及時間步長有關，基於此，將原問題化為沒有狀態約束的離散的最優控制問題；然後借用Pontryagin最大值原理以及適當地選取格線大小與時間步長，我們得到了最優控制問題與離散化最優控制問題的最優控制關於格線大小與時間步長的誤差估計。最後，時間最優控制問題自上世紀五十年代至今一直是數學界和工程控制領域專家十分關注的問題之一。之所以如此，在很大程度上是受到其在工程技術領域，工農業生產等實際套用中產生的迫切需要所推動的。我們借用分布參數系統最優控制的Pontryagin最大值原理，建立了來源於生物醫學的Fitzhugh-Nagumo方程時間最優控制問題的bang-bang原理，熱方程時間最優控制問題中最優時間與最優控制的充分必要條件，其中這兩個工作關於控制均是逐點約束的情形。而且，通過研究帶勢的線性熱方程的能觀性估計，其中時間是取在一個正的可測集上的，我們得到了半線性拋物方程時間最優控制問題的bang-bang原理，這是目前這方面的唯一結果。
