《基於虛擬元方法的非線性拋物型方程高精度數值方法》是依託北京大學，由胡俊擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於虛擬元方法的非線性拋物型方程高精度數值方法
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：胡俊
- 項目類別：數學天元基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性拋物型方程在流體動力學、氣象預報和慣性約束核聚變等領域中有廣泛套用。對這類非線性問題，設計適用於複雜區域和格線並且具有保正性的格式是重要的研究問題。本項目擬研究這類非線性問題的虛擬元方法及其自適應算法、新型的時間外推算法與虛擬元的外推瀑布多格線方法，從而構造適用於複雜區域和格線、具有保正性的高精度離散格式，建立相應的數學理論；將所設計的離散格式推廣套用到三溫輻射擴散方程組，發展對格線變形穩健的離散格式。同時，通過項目的合作研究，為合作單位培養年青學者。
結題摘要
在項目的資助下，項目雙方進行了密切的交流與合作。特別是王湘奇博士在北京大學訪問期間，在胡俊教授的指導下, 緊緊圍繞項目的研究內容和研究目標開展了研究，取得了進展：首先, 改用變點展開, 在準確解 u 作誤差展開, 導出一個雙線性形式 B(u; w, v), 其係數是x ,t 的光滑函式. 基於此，構造了輔助線性拋物問題的有限元投影 U*作為比較函式. 其次, 分析了有限元解U 和比較函式U*之差的H1 超收斂估計， 再用逆估計導出所需範數下的估計, 從而避免了拋物問題複雜的權範數方法和 Green 函式估計. 對於非線性拋物問題, 提出了時間外推算法, 進行了理論分析以及數值計算。對於特殊形式的半線性或擬線性拋物問題, 將時間外推法和插值係數有限元相結合, 進一步提高了算法的精度和效率。同時，王湘奇博士積極參加了北京大學數學學院的相關學術活動，對前沿研究課題有了較深入的了解，也開闊了其研究視野。
