《基於總變分圖像恢復的半光滑牛頓法研究》是依託昆明理工大學，由文有為擔任項目負責人的地區科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於總變分圖像恢復的半光滑牛頓法研究
- 項目類別：地區科學基金項目
- 項目負責人：文有為
- 依託單位：昆明理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在基於變分模型的圖像恢復問題中，因總變分函式能很好地保持圖像邊緣信息，它在圖像恢復中廣泛地用作正則項。但總變分函式不可微性造成了數值最佳化的困難，如何發展行之有效的快速算法來求極值是一項重要的研究課題。本項目以高斯噪聲及非高斯噪聲污染的圖像恢復問題為研究對象，將圖像恢復與數值代數的新方法、新理論有機結合，以求發展具有局部超線性收斂速度的算法，並研究相應的收斂理論。首先我們擬採用原－對偶模型以及變數分裂等框架將總變分最小問題轉換成極小極大問題。再利用最優條件得一非線性方程組後，深入研究方程組解的性質，闡述方程組所對應函式的牛頓可微性。然後用半光滑牛頓法來構造快速有效的算法，研究算法的收斂性。最後運用數值結果來檢驗算法，分析數值行為，並推廣算法到其他相關的問題。本項目的研究，需用到數值代數、數值最佳化、圖像處理、統計等相關知識，本項目的研究不僅可豐富數值代數自身的理論，也可能推動相關學科的發展。
結題摘要
本項目主要目標是針對變分問題的目標函式不可微性造成了數值最佳化的困難，發展行之有效的快速算法。項目組採用原對偶模型及以及變數分裂等框架將變分問題轉化成求解非線性方程組的問題，闡述了非線性方程組的牛頓可微性，然後套用半光滑牛頓法等算法非線性方程組的解。本項目所發展的算法避免了對變分問題的目標函式直接計算梯度函式，解決不可微性所造成的數值困難。本項目取得了一系列的成果，包括：(1) 在高斯噪聲污染成像的的圖像恢復問題研究上，項目組研究了消除高斯噪聲問題的超線性收斂速度算法及帶框式約束的圖像復原問題中的快速算法。其中關鍵性的途徑是採用投影到可行集的方法來處理約束條件，而投影運算元是牛頓可微的，使得套用半光滑牛頓法來求解非線性方程組成為可行。(2) 在非高斯噪聲污染成像模型研究上，項目組研究了均勻噪聲及泊松噪聲消除問題並發展了超線性收斂速度的算法。特別是在均勻噪聲問題上，項目組所發展的算法比已有算法要快10～20倍。(3) 在其他問題研究上，項目組進行了帶線性等式約束的非負最小二乘稀疏解等問題的研究，發展了基於投影的快速算法，並將算法套用到機率布爾網路的構造問題中，其數值結果表明所發展的方法比傳統的牛頓法要快。項目組成員發表期刊及會議論文13篇，編制了算法軟體包，完成了預期研究目標。
