基於移動坐標架的最小切環分支問題

《基於移動坐標架的最小切環分支問題》是依託西安電子科技大學，由劉丹擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：基於移動坐標架的最小切環分支問題
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉丹
• 依託單位：西安電子科技大學

中文摘要

異宿環及其分支問題在各種複雜的物理、生物等學科及相關研究領域都占有重要地位。異維環作為更一般的異宿環，其分支現象充分揭示了具有異維環的系統的結構不穩定性和其軌道拓撲類型的多樣性，以及不同類型的軌道在演化過程中相互融合、轉化、分叉的複雜性等等。目前異維環分支問題的研究是異宿環分支的一個熱門問題。最小切環在異維環中具有一般性。然而由於最小切環本身的余維數分布的不均勻性給分支的討論帶來了很大的困難，故已有的研究結果不多，尤其對於那些退化程度較高的情況還沒有得到系統的分析。本項目擬通過在最小切環的局部管狀鄰域內構造移動坐標架對高維微分系統中幾類退化的三鞍點最小切環分支問題給出系統的、獨創性的研究。這樣的移動坐標架本身既繼承了相應不變流形的幾何不變性，又精確地反映了系統內在的線性壓縮性和擴張性的動力學性態，由此得到的後繼函式和分支方程的形式會變得相當簡單而精確。

結題摘要

高維非線性微分系統中的異宿環及其分支問題在各種複雜的物理、生化、化學等作用的學科及相關的研究領域發揮著極其重要的作用。異維環分支問題的研究是異宿環分支的一個熱門問題，然而由於其本身的余維數分布的不均勻性給分支的討論帶來了很大的困難，故已有的研究結果不多。 本項目針對異維環中一類具有一般性的最小切環的分支問題給出系統的分析和研究。首先從三維非線性微分系統入手，考慮連線三個鞍點的最小切環的分支問題，包括2-2-1環和2-1-1環兩種類型，分別研究它們在單種退化條件下的分支情況。對於具有共振或軌道翻轉條件的最小切環，通過考慮該環的三條異宿軌中從鞍點出發或進入鞍點時的切向叢的特徵值及方向，選取適當的移動坐標架，在該環的管狀鄰域內建立了形式相對簡單的回歸映射，進而得到三鞍點最小切環的保存性、周期軌、同宿環、異宿環、多重周期軌分支曲面，以及鞍結點分支曲面的存在條件等一系列的分支結果，並給出各種參數條件下系統分支的詳盡而完整的分支圖。對於具有傾斜翻轉條件的最小切環，考慮該環中連線同一條異宿軌L的鞍點A的穩定流形和鞍點B的不穩定流形方向在時間變數分別趨於正無窮大和負無窮大時的變化趨勢，主要包括最小切環中穩定流形及不穩定流形沿異宿軌方向發生傾斜翻轉的情形。這類退化有弱傾斜翻轉和強傾斜翻轉兩種情形。通過進一步推廣局部移動坐標架法，給出同宿環、周期軌和多重周期軌道的分支參數曲面等的漸近表達式。對比兩種傾斜翻轉條件下的最小切環分支結果，發現強傾斜翻轉比弱傾斜翻轉的情況退化性更強，分支類型更為豐富，系統的動力學行為也更為複雜。其次對具有兩類退化條件的分支問題也進行了初步的探討。最後對n維非線性微分系統中連線多個鞍點的最小切環進行了研究，給出各類分支參數曲面包括同宿軌分支的參數曲面、最小切環保存的參數曲面、周期軌分支的參數曲面、兩重周期軌分支的參數曲面以及三重周期軌分支的參數曲面等，對比分析得出這些結果恰是三維情形的推廣。 本項目所研究的問題在一定程度上完善了高余維奇異軌的分支結果。在分支分析的過程中，利用移動坐標架法來獲取一個光滑坐標變換，以此導出系統在最小切環中的奇點附近的標準型，簡化了龐加萊映射及分支方程，使得結果更容易求解，方法更具有推廣性。