基於模型降階的大型時間相關微分方程多尺度快速算法

《基於模型降階的大型時間相關微分方程多尺度快速算法》是依託華南師範大學，由曾泰山擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：基於模型降階的大型時間相關微分方程多尺度快速算法
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：曾泰山
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

時間相關微分方程包括常微分方程組和發展方程，出現於眾多的套用領域中。時間相關微分方程的高性能數值解法對於科學和工程計算具有重要的理論意義和套用價值。對於超大規模的時間相關微分方程計算問題，傳統的求解方法遇到了存儲量大、條件數高和計算時間長等計算上的瓶頸問題。本項目將結合多尺度和模型降階方法研究大規模時間相關微分方程的快速求解問題。本項目首先研究基於雙正交投影的最優H2 模型降階問題快速算法。在模型降階算法的基礎上，研究與空間變數自適應多尺度分解相結合的發展方程多尺度快速算法。在求解過程中，我們將充分挖掘多尺度離散後的係數矩陣所具有的多尺度層次性，提高求解效率。

結題摘要

對於超大規模的時間相關微分方程計算問題，傳統的求解方法遇到了存儲量大、條件數高和計算時間長等計算上的瓶頸問題。為了解決這一問題，本項目提出了結合多尺度和模型降階方法相結合的快速算法。首先，我們提出了一種基於Grassmann 流形最最佳化的最優H2 模型降階問題的快速有效算法，該方法不需要計算矩陣指數，大大降低了算法複雜度。基於正交投影模型降階算法的基礎上，提出了基於雙正交投影的模型降階方法。雙正交方法提供了更多的模型選擇並且提高了計算精度。在多尺度快速算法方面，本項目在多方面取得了進展。首先，負責人及其合作者提出了求解線性方程組的小波塊 Jacobi 方法。該方法充分利用小波變換後的稀疏性和多尺度塊結構，求解過程中結合了直接法和疊代法兩者各自的優勢。另外，負責人及其合作者提出了多尺度Galerkin 方法求解具有二階邊界條件的 Fredholm 積分微分方程。該算法先在固定初始層上求出一個較粗的近似解，然後將高層部分的“細節”逐層添加上去加以校正。由於算法只需求解固定初始層上的方程組，因此存儲空間和計算複雜度大大減少。本項目還將多尺度方法套用於圖像去噪算法研究中，實驗結果證明，所提出的算法相對於全變差去噪方法和小波去噪方法能夠更好地抑制噪聲、保持邊緣和消除階梯效應。在基金的支持下， 課題組成員在國內外專業刊物上發表4篇文章，一本專著。其中SCI 論文2 篇， EI論文1篇， 國核心心刊物1 篇。另有幾篇正在審稿及論文整理中。