《基於有限元方法的反應擴散種群模型斑圖數值模擬研究》是依託山西大學，由常利利擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於有限元方法的反應擴散種群模型斑圖數值模擬研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：常利利
- 依託單位：山西大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在反應擴散系統種群模型中，反應的非線性與擴散的線性行為耦合可使系統自發地產生各種空間斑圖，對這些斑圖態的研究對於認識和控制植物生長、種群遷移、傳染病傳播等有重要意義。反應擴散系統斑圖動力學的研究進展在很大程度上依賴於數值模擬的推動，當前數值模擬主要在規則區域下使用有限差分方法，受差分法的限制，研究大尺度、長時間、空間區域複雜的時空動力學漸進行為相當困難。有限元作為數值求解偏微分方程的主流方法擁有差分法不具備的優點，本項目擬將有限元方法用於反應擴散系統斑圖的數值模擬。針對系統反應項高度非線性的特點，研究實用且精度高的離散格式並給出先驗誤差估計；針對系統空間區域複雜及解有奇性的特點，給出後驗誤差估計子以指導自適應有限元計算，提高運算速度和精度；針對有大時滯的反應擴散系統，研究實用高效的有限元離散方法及先驗誤差估計、後驗誤差估計，在此基礎上，研究複雜區域形狀及大時滯對斑圖結構的影響。
結題摘要
反應擴散模型廣泛套用於種群模型和傳染病模型，在這種模型中，反應的非線性與擴散的線性行為耦合可使系統表現出複雜的動力學行為如行波、混沌、自組織空間斑圖，時滯的引入更加深了這些行為的複雜程度。對此類模型動力學行為的研究對於認識和控制種群演化、傳染病傳播等有重要意義。一般地，我們無法求得模型的精確解，而研究種群的演化又往往需要觀察模型的長時間動力學行為，從而研究模型高效精確的數值方法對於深入研究此類模型是必不可少的。事實上，反應擴散系統斑圖動力學的研究在很大程度上依賴於數值模擬的推動。當前數值模擬主要在規則區域上使用有限差分方法，受差分法的限制，研究大尺度、長時間、空間區域複雜的時空動力學漸進行為相當困難。有限元作為數值求解偏微分方程的主流方法擁有差分方法不具備的優點，本項目的主旨在於使用有限元方法研究反應擴散種群模型斑圖及其數值模擬。我們的主要研究內容、結果及其科學意義概括為如下幾個方面。（I）針對一般形式的時滯反應擴散種群模型，給出了Backward difference-FE和Central difference-FE兩種高效的有限元離散格式並得到了其先驗誤差估計。為避免非線性反應項直接的數值積分，在兩種格式中我們對反應項使用了插值，這樣處理的優點是在提高運算速度的同時不影響收斂階。（II）使用上述格式研究了空間區域的形狀、維數及時滯對斑圖產生的影響。結果表明，空間區域的維數和時滯的大小對斑圖的形成即對種群的持續性有著深刻的影響。（III）為進一步提高數值模擬的速度和精度，針對Backward difference-FE格式給出了後驗誤差估計，用得到的指示子指導有限元格線自適應加密取得了良好效果。（IV）針對一類橢圓方程Dirichlet邊界控制問題，我們給出了一種保持相容性的新的數值格式，使得Dirichlet邊界控制問題的分析與計算像Neumann邊界控制一樣簡便。該工作為本項目的後續研究斑圖控制作了充分的準備。
