埃伯萊因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空間的子集弱緊與弱序列緊相同的重要定理。
基本介紹
- 中文名：埃伯萊因-斯穆良定理
- 外文名：Eberlein-Smulian theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,弱緊,弱序列緊,
簡介
埃伯萊因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空間的子集弱緊與弱序列緊相同的重要定理。
巴拿赫空間的子集是相對弱緊的若且唯若它是相對弱序列緊的。特別地，巴拿赫空間的子集是弱緊的若且唯若它是弱序列緊的。
上述定理是埃伯萊因(Eberlein,F.)和斯穆良(mulian,V.)於1947年得到的，它在泛函分析中有著廣泛的套用。
弱緊
一個集稱為弱緊的是指它的關於τ(X,X*)的任一開集族的覆蓋有有限子覆蓋。一個集稱為弱∗緊的是指它的關於τ(X*,X)的任一開集族的覆蓋有有限子覆蓋。
由於弱開集必是開集，故緊蘊涵弱緊。同樣，在X*上，緊蘊涵弱緊且弱緊蘊涵弱∗緊。
推論：設X是Banach空間：
(1)X中弱緊集必是有界的弱閉集，從而必是有界的閉集；
(2)X*中弱∗緊集必是有界的弱∗閉集，從而必是有界的閉集。
弱序列緊
賦范空間X的子集A叫做緊的，如果A中的每個點列包含一個子序列，該子序列在X中收斂到A中的一個元素．緊集是閉有界集，但閉有界集不一定是緊的，除非X是有限維的。
A叫做準緊的，如果其閉包Ā（在範數拓撲下）是緊的。
A叫做弱序列緊的，如果A中的每個序列包含一個子序列，該子序列在X中弱收斂到A中的一點。
