垂心四面體是一種特殊的四面體.有兩雙對棱互相垂直的四面體稱為垂心四面體或正交四面體。
基本介紹
- 中文名：垂心四面體
- 外文名：orthocentric tetrahedron
- 學科：數理科學
- 別名：正交四面體
- 類別：特殊的四面體
- 定義：兩雙對棱互相垂直的四面體
- 類型：數理科學名詞
定義,表征,體積,垂心四面體性質,
定義
垂心四面體(orthocentric tetrahedron)一種特殊的四面體。有兩雙對棱互相垂直的四面體，稱為垂心四面體或正交四面體。垂心四面體的四條高線必相交於一點，這點稱為垂心四面體的垂心。垂心四面體的一個特例是有一個三面角是三直三面角的四面體，稱為三直角四面體。它的垂心就是三直三面角的頂點。正四面體也是垂心四面體的特例，它的垂心就是正四面體的重心。只有垂心四面體才有垂心一般的四面體未必存在垂心。
在幾何學中，正中心的四面體是四面體，所有三對相對的邊都是垂直的。它也被稱為正交四面體，因為正交意味著垂直。1782年，Simon Lhuilier首先研究了它，並於1890年得到了G. de Longchamps的正中心四面體。
在一個正中心的四面體中，四個高度是並發的。這個共同點就是所謂的垂心，它有它是中心的對稱點屬性外接球關於心。因此，正中心與四面體的Monge點重合。
表征
所有的四面體都可以刻成平行六面體。四面體是正中心的，若且唯若它的外接平行六面體是菱面體。事實上，在任何四面體中，若且唯若外接平行六面體的相應面是菱形時，一對相對的邊才是垂直的。如果一個平行六面體的四個面是菱形的，那么所有的邊都是相同的長度，六個面都是菱形的;因此，如果四面體中的兩對相對的邊是垂直的，那么第三對是相同的，而四面體是正中心的。
一個四面體ABCD是正中心的，若且唯若相反邊的平方和等於三對相對邊時：
實際上，只有兩對相對邊滿足四面體正中心的條件就足夠了。
體積
關於邊緣的表征意味著如果只有正中心四面體的六個邊中的四個是已知的，則剩下的兩個邊可以被計算，只要它們彼此不相反即可。因此，正中心四面體的體積可以用四個邊a，b，c，d表示。公式是
其中Ç和d是相對的邊緣，並且
。
垂心四面體性質
1、 一組對棱垂直的四面體，過這組對棱中任一 條的兩端點所作的兩高線必相交。
2、若四面體從兩頂點所作兩條高線相交，則過此兩頂點的棱垂直其對棱 。
3、 各面是菱形的平行六面體，其內接四面體是垂心四面體。
4、 任一頂點在對面的射影是對面 三角形垂心的四面體是垂心四 面體。
5、對棱中點連線相等的四面體呈垂心四面體。
6、 平行於四面體任一組對棱的平面截，其餘四條棱若截口為矩形，則此四 面體為垂心四 面體。
7、 對棱平方和相等的四面體為垂心四面體。
8、 六棱中點在同一球面上的四面體是垂心四 面體 。
