圓周摺積也作圓周卷積，是不同於線性卷積的一種卷積運算，周期卷積的一種。兩個函式的圓周卷積是由他們的周期延伸所來定義的。周期延伸意思是把原本的函式平移某個周期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函式。
基本介紹
- 中文名：圓周摺積
- 外文名：Circular convolution
- 別名：圓周卷積
- 領域：信號處理
定義,性質,算法,線性卷積,
定義
圓周摺積，也叫循環卷積，兩個長度為N的有限場序列x(n)和h(n)的循環卷積定義為：
即循環卷積相當於周期延拓後的序列x˜(n)做周期卷積後再取主值區間，若x(n)和h(n)的離散傅立葉變換為X(K)和H(K)，則有DFT[y(n)]=X(K)H(K)。即時域中的循環卷積對應於其離散傅立葉變換的乘積，循環卷積的結果y(n)長度為N。
性質
由於離散傅立葉變換(DFT)的實質是周期序列變換到頻域的描述。可以證明：兩個有限長序列在時域的循環卷積，其DFT等於在頻域兩個序列相應的DFT的乘積。
它表明DFT具有循環卷積性質（CCP），也是區別於其他變換的重要特性。正是這種性質，用計算機通過計算DFT達到計算循環卷積和線性卷積的目的，提髙了運算效率。按長度為N的兩個序列，其線性卷積的長度應為2N-1，而循環卷積的長度仍然為N。為此，可以通過補零把序列長度增加到L≥2N-1。這樣，一方面使循環卷積的長度等於線性卷積，另一方面避免進行循環卷積過程出現混疊造成失真，使計算結果與線性卷積相等，從而實現利用DFT計算線性卷積的目的。循環卷積有快速算法，廣泛套用於對通信系統的分析和綜合以及對信號的數字處理。
算法
離散信號的圓周卷積可以經由圓周卷積定理使用快速傅立葉變換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）卷積能轉換成圓周卷積來計算，會遠比直接計算更快速。考慮到長度L 和長度 M 的有限長度離散信號，做卷積之後會成為長度L+M-1的信號，因此只要把兩離散信號補上適當數目的零（zero-padding）成為N點信號，其中N≥L+M-1，則它們的圓周卷積就與卷積相等。即可接著用N點 FFT 作計算。
用以上方法計算卷積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的h[n] 是一個 FIR 濾波器而較長的x[n] 是未知長度的輸入（像語音）時，直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號，太不方便。這時可以把x[n] 分割成許多適當長度的區塊（稱為 block convolution），然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連線起來，藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連線的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之卷積法和重疊-相加之卷積法。
線性卷積
對於線性非時變離散時間系統來說，若序列x(n)是系統的輸入，h(n)是系統在單位脈衝作用下的單位脈衝回響，則由於輸入序列x(n)可表示為一系列脈衝的線性組合，所以，根據線性系統的疊加性質，系統的輸出在系統初始不儲能的條件下(零狀態回響)可求得。
線性卷積是數位訊號處理中最常見的一種基本運算，不僅用於系統分析還用於系統設計。如果代表濾波器的脈衝回響則卷積運算就是一種線性濾波，y(n)是信號x(n)通過濾波器後的回響。
