《回文式特徵值問題的保結構算法研究》是依託東南大學，由李鐵香擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：回文式特徵值問題的保結構算法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李鐵香
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究內容包括對回文式特徵值問題發展保辛結構算法及進行相關的理論研究，並在此基礎上利用Arnoldi算法和GPU高性能計算技術結合併行的思想對超大規模回文式特徵值問題發展保結構算法，然後將該算法套用在實際工程模型中。首先在加倍保結構算法SDA的基礎上，利用回文式特徵值問題的結構特點發展保辛結構的高精度的算法，並對算法的收斂性、穩定性和誤差進行分析；在此理論工作基礎上，從實際問題的背景入手，改進高速火車振動分析中的回文式二階特徵值問題模型，並考慮用基本矩陣論的知識證明其解的存在性；利用有限元方法和Bloch-Floquet定理配合適當的邊界條件對周期表面聲波過濾建立回文式特徵值問題模型；結合這些模型各自不同的結構特點和計算要求，探索相應的可以避免模型壓縮、線性化等中間環節而直接作用在原始問題上的保結構算法。
結題摘要
本項目主要研究目的是對幾類回文式特徵值問題和非線性矩陣方程發展保結構的高效能算法，並對所發展算法的收斂性、穩定性進行理論分析。對具有周期幾何結構的表面聲波過濾問題，根據Bloch- Floquet 理論，利用有限元方法，建立了兩類 T-回文式二次特徵值問題的離散模型；利用回文式特徵值問題的辛結構特點，發展了SA, SDA, TSHIRA和GTSHIRA 四種保結構算法；對這四種算法進行數值實驗，將它們的精度和運算量進行對比，發現帶 “重辛化”和“重雙各向同性化”的 TSHIRA 和GTSHIRA 算法雖然與 SA 和 SDA 達到同樣的精度，但對工程上感興趣的靠近單位圓的特徵對效率更高，圓滿完成了研究計畫中關於表面聲波過濾問題的研究任務。基於加倍保結構算法SDA，利用 Sherman-Morrison-Woodbury 公式，對係數矩陣為大規模的稀疏加低秩結構的離散型、連續型和非對稱型的代數 Riccati 方程，發展了可行的保結構算法 SDA_ls 及 SDA_ls_ε，並對算法進行相應的誤差分析。對大規模的 Stein 及 Lyapunov方程，提出了修正的Smith算法，其每一步疊代的運算量和存儲量是 O(n) 量級且以二次的速度收斂。為了計算大規模二次特徵值問題的一部分模最小的特徵對，我們發展了半正交化的廣義的Arnoldi 型算法（SGA），巧妙地避免了對原問題進行線性化處理；結合隱式重啟動、精化、平移等技巧，提出了 RSGA，IRSGA 和 IRRSGA 三種算法；大量的數值實驗表明， IRSGA 和 IRRSGA 算法比標準的 IRA 算法有更高的精度和收斂速度，而且當標準的 IRA 和 IRSGA 算法不能在一定步數內收斂時，IRRSGA 算法可以顯著提高解的精度。這些工作圓滿完成了本項目預計完成的研究任務。除此之外，在本項目還研究了其他相關的矩陣計算問題，包括求解廣義代數Riccati 方程的半穩定解，線性和二階延時系統極點配置問題，及來自於反問題領域的透射特徵值問題。這些工作都為未來更多套用領域問題的高效能算法研究提供了數學基礎。在本項目的支持下，我們完成了 9 篇SCI 論文，參加國際會議5次，培養畢業博士生2名。基於本項目的工作基礎，項目組成員獲得了2013 年江蘇省科學技術獎三等獎，在2014年成功申請到國家自然基金-面上項目1項。
