四次不定方程是一類著名的不定方程。關於四次不定方程整數解的研究，是個難度較大的數論專題。四次不定方程的結果仍然較多地是二元和三元的情形，即使是二元的情形，四次不定方程的問題也並不簡單。
基本介紹
- 中文名：四次不定方程
- 外文名：quartic indeterminate equation
- 適用範圍：數理科學
簡介,發展歷史,無窮遞降法,
簡介
四次不定方程是一類著名的不定方程。關於四次不定方程整數解的研究，是個難度較大的數論專題。目前的研究主要在二元四次和三元四次方面有一些結果，其餘都還在探索之中。
發展歷史
在兩百多年以前就已經知道不定方程
有兩組整數解
。
直到1942年，永格倫（Ljunggren，W.）才給出了一個很繁瑣的方法，證明了方程除上述兩組解之外，再沒其他正整數解。
17世紀，費馬（Fermat，P.de）證明了不定方程
沒有
的整數解，利用科恩（Cohen，J.H.E.）關於斐波那契數列的兩個重要結果，可以證明下列不定方程解的情況為：
，僅有兩組整數解
；
，僅有四組整數解
；
，僅有十組整數解
；
，僅有八組整數解
。
更一般的結果是：設整數D>1，且無平方因子，
是
中的基本單位數，若X，Y不是整數，則不定方程
當D=5時，僅有一組正整數解
；當D=13時，僅有一組正整數解
。如果D是除5和13以外的奇素數時，則不定方程
無正整數解。當D=5時，方程僅有兩組正整數解
；當D=13時，方程僅有一組正整數解
。
無窮遞降法
證明如下：
設中有一組的解，且設x>0，y>0，z>0，x是所有解中最小的。顯然，
。
如果
，則由得出
，故有
，得出的一組解
，而0<a<x，與x最小矛盾。
如果
，則
。不失一般，可設
，
，則有
，故
，因此
，又得
，則有
，而
，仍與x最小矛盾。
這就證明了沒有的整數解。證畢。
