《哈密頓體系的高階乘法攝動方法及套用》是依託中山大學，由富明慧擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：哈密頓體系的高階乘法攝動方法及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：富明慧
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
提出哈密頓對偶體系的高階乘法攝動方法，以求解相關變係數及非線性問題。利用大量小量分離技術及攝動變換，建立線性變係數一階常微分方程組的高階乘法攝動法，並推廣到非線性問題。由於傳遞矩陣為一系列指數矩陣之積，可用精細積分法計算，故此攝動法具有很好的精度和效率，隨著攝動次數的提高，能得到任意精度的攝動解答。對於哈密頓系統，此攝動法為一種高階保辛攝動方法。此外，提出一種變係數增維方法，由於將增維方法與高階乘法攝動相結合，突破了傳統常係數增維的限制，在保持精度的同時提高了計算效率。建立變係數兩點邊值問題的一種高精度和高效率解法。最後，將高階乘法攝動方法與子結構方法相結合，套用於非線性結構動力方程、功能梯度材料板熱力分析及奇異攝動邊值問題。本項目豐富了哈密頓對偶體系的計算方法和內容，具有重要的理論意義；同時還為許多工程問題提供了一種高精度方法，因此也具有廣泛的套用前景。
結題摘要
大量的科學和工程問題可歸結為時變動力系統，因此相關高精度和高效率數值方法的研究具有重要的理論和套用意義。本項目基於哈密頓對偶體系，對時變動力系統的高階保辛算法展開研究，並取得以下成果。 一、提出並完善了時變動力系統的高階乘法攝動方法，並進行了算法最佳化。 首先，對於線性時變動力系統，利用大量小量分離的技巧和攝動變換，將其轉化為一系列求解精度更高的攝動系統，並由此得到原系統高階精度的解答。由於這種方法的傳遞矩陣為一系列指數矩陣之積，因此可用精細積分法高效、精確地計算，這就保證了此高階攝動法具有很好的精度和效率，隨著攝動次數的提高，該方法能得到任意精度的攝動解答。對於哈密頓系統，此攝動法本質上為一種高階保辛攝動方法。 其次，對於非線性動力系統，提出了一種“漸近線性化”的方法，並對漸近線性化後的動力系統採用高階乘法攝動方法進行求解。 第三，對於非齊次時變動力系統，提出了一種變係數增維方法，通過將未知狀態向量增加1維的方法，將原有的非齊次動力方程轉化為高一維的齊次動力方程，並用高階乘法攝動法求解。該法突破了傳統精細積分法中增維方法必需保持動力系統係數矩陣定常這一限制，將變係數增維與高階乘法攝動法有機地結合起來，形成一種高效的求解方法。 二、修正了非傳統哈密頓變分原理，並在此基礎上建立了一種2n階的辛算法 首先，結合動力學初值問題的特點，對原有非傳統哈密頓變分原理進行簡化，使作用量由原來的5項簡化為3項，極大地簡化了套用。 其次，將位移和動量作相同的拉氏展開，由修正的非傳統哈密頓變分原理，建立了一種2n階的辛算法，同時還給出了相應的牛頓-拉佛森疊代初值的優選方案。此外，本項目還證明了由哈密頓型變分原理所建立的算法未必都是辛算法這一結論，糾正了長期以來許多學者認為的“哈密頓型變分原理所建立的求解動力系統的數值方法均為辛算法”這一誤區。 第三，將上述辛算法套用於結構動力學方程，建立了一種無條件穩定、超調性能好、高效的4階算法。 本項目所取得的以上成果，豐富了時變動力系統的高精度和高效率算法，不僅具有重要的理論意義，也具有廣泛的套用前景。
