《周期結構中波的數值模擬》是依託清華大學，由鄭春雄擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：周期結構中波的數值模擬
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：鄭春雄
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
周期結構在光學工程，半導體物理，無線電通訊和原子物理等諸多領域有著重要的套用。本項目旨在為周期結構中波的數值模擬提供系統而高效的解決方案。考慮的方程包括Helmholtz方程，電磁波方程，聲波方程，彈性波方程和Schr?dinger方程等。考慮的問題包括電磁波導管問題，量子波導管問題，光柵衍射問題，量子波函式的演化問題,含周期介質的多體散射問題,周期介質中高頻量子波、聲波和彈性波的波場模擬問題等。項目擬解決的關鍵科學問題有二個。一是如何定義和快速計算各種波動方程在無窮周期陣列邊界上的散射運算元。二是設計出基於高斯波束方法模擬高頻波的Euler坐標公式。項目目標的實現不僅會加深周期偏微分方程的理論認知，同時對周期結構的套用研究有著重大的促進作用。
結題摘要
在本項目的執行期間（2010-1至2012-12），項目組基本完成了項目預設的幾項主要研究目標。同時，我們調整了部分研究計畫，將研究精力集中在高頻波的理論和數值計算上來，取得了一系列的成果。尤其值得強調的是我們發展了整體幾何光學方法這一全新的半經典近似理論。 周期介質波動方程的吸收邊界條件: 周期介質在半導體物理，光纖通訊和無線電技術等諸多領域具有廣泛的套用。我們給出並證明了周期Schroedinger運算元解析形式的Weyl-Titchmarsh函式，即DtN運算元。對一維周期陣列，給出了計算Sommerfeld-to-Somerfeld形式的邊界散射運算元的快速計算方法。與已有的基於Dirichlet-to-Neumann型邊界散射的計算方法相比，由於克服了橢圓運算元本徵值帶來的困難，我們的方法對任意頻率的波都是穩定的。我們首次給出了Bloch波的規範表示和傳輸方向的確定方法，指出部分文獻中基於Bloch波能流方向的確定方法是不完備的。我們提出了周期陣列中缺陷散射的高效計算方法，並將其套用於帶缺陷光柵的數值模擬中。此外，我們提出了一個基於linear sampling思想確定周期介質缺陷位置的反散射方法。 高頻波半經典近似理論和計算方法: 對於線性高頻波方程的邊值問題，發展了一套基於Gaussian beam漸進理論的數值方法，並給出了理論分析結果。傳統的方法（以有限元方法為例）面臨著高頻波帶來的污染效應。粗糙地說，頻率越大，數值解的精度會變得越差。我們的方法的一個顯著優點是它是漸進收斂的：頻率越大，解的相對誤差越小。我們的方法的另一個優點是所導出的數值代數問題的規模較小：在二維的情況下，自由度的個數隻與頻率成正比。此外，對於帶奇性勢的線性Schroedinger方程，我們利用漸進分析的方法導出了奇性界面上的Gaussian beam傳輸運算元與反射運算元的關係，分析了Gaussian Beam在奇性界面臨進區域的傳播行為。我們提出了一個基於參數估計的高頻多相函式的高斯光束數值逼近算法，在噪聲滿足適當的分布條件下證明了該方法能夠給出關於波長的一階漸進逼近。我們提出了整體幾何光學方法這一全新的半經典近似方法。這個方法完全突破了經典幾何光學在焦散點附近不再適用的限制，給出了整體一致漸進精度的波場近似。
