向量管

向量管

向量場中通過一條閉曲線的向量線的全體。由於圖形呈管狀而得名。

向量管是向量場中特殊的一種向量曲面(向量曲面的特徵在於與其上每一點M都對應著向量A(M),它位於曲面在該點的切平面內).如果在向量場內取任一條不是向量線的閉曲線,並經過其每一點引向量線,那么這些線的軌跡就是一管狀向量曲面,稱之為向量管.通過向量管的橫截面的向量流量叫做向量管的強度。在螺線在螺線向量場強度為一常數

基本介紹

  • 中文名:向量管
  • 外文名:vector tube
  • 所屬學科:高等流體力學
  • 分類:向下凸的、向下凹的
  • 相關概念:散度、管量場、向量管強度等
  • 所屬領域:數理科學
向量管的分類,有關向量管的一些概念,概念一:散度,概念二:管型向量場,概念三:向量管,概念四:向量管強度,有關向量管的性質與定理,

向量管的分類

①向下凸的(downwards convex),又名“向上凹的(upwards concave)”。
如果曲線y=f(x)的圖形位於其任何一點處的切線之上,則稱該曲線是向上凹的,也稱為向下凸的。
如果f(x)的二階導數f''(x)在某個區間內為正,則曲線y=f(x)在該區間內是向上凹的。
向量管
②向下凹的(downwards concave),又名“向上凸的(upwards convex)”。
如果曲線y=f(x)的圖形位於其任何一點處的切線之下,則稱該曲線是向上凸的,也稱向下凹的。
如果y=f(x)的二階導數在某個區間內為負,則曲線y=f(x)在該區間內是向上凸的。
向量管

有關向量管的一些概念

概念一:散度

從向量場中穿出閉曲面的通量,可以得出閉曲面內有正源或負源,這從整體上反映了向量場內通量的情況,但不知道源在各個點處的強弱情況,我們需要引入下面的概念.
設向量場a,在場中的任意一點P的某個鄰域內作一包含此點的閉曲面ΔS,設△S所包圍的空間區域為△Ω,其體積為△V,若極限
向量管
存在,則稱此極限值為向量場a在點P處的散度,記為diva
散度是純數量,與坐標系的選擇無關,它是向量場的重要特徵.散度表示向量場中某一點處通量對體積的變化率,即此點處穿出一個單位體積的通量,我們稱之為此點處源的強度.如果散度為正,表示此點有散發通量的正源;散度為負,此點有吸收通量的負源;散度為零,此點處無源.散度的絕對值就表示此點處散發或吸收通量的強度.
向量場中每一點都有散度,將點與散度一一對應,得到一個數量場,稱為由向量場產生的散度場.
在直角坐標系中,設向量場a=ax(x,y,z)i+ay(x,y,z)j+az(x,y,z)k,在任意一點處散度:
向量管
對於散度,也可以認為某點散度為正值時,此點是向量線的開始,為負值時,此點是向量線的終止.

概念二:管型向量場

若在向量場a內有diva=0,則稱此向量場為管型向量場.
在管型向量場中,既無正源也無負源,在有限的距離上,向量線在任何地方不能開始,也不能終止,它們能伸向無窮遠,可能是閉合的向量線,也可能是起點與終點均在場的邊界上的向量線

概念三:向量管

從一閉曲線上每一點引一條向量線,得到的管狀曲面稱為向量管.

概念四:向量管強度

管型向量場中通過一個向量管各個斷面的流量是相等的,此數值稱為向量管強度.
對於不可壓縮流體速度場v,既無正源也無負源,則divv=0,從而是管型向量場.因為通過向量管的任意一個斷面的流量相等,管細的地方流量加快,管粗的地方流量減慢,此時流體流動起來像一條條管子.

有關向量管的性質與定理

流體通過向量管的任意斷面的流量都是相同的.且無源場等價於管量場。

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