同調代數學，20世紀40年代中期創立的代數學的重要分支，與代數拓撲學有緊密的關係。
基本介紹
- 中文名：同調代數學
- 創立年代：20世紀40年代中期
- 研究對象：模
同調代數為環、群、李代數等代數結構的研究提供了有力的工具，在代數幾何與代數拓撲等學科中也有重要套用。它研究的主要對象是模，但主要結果都可推廣到更廣的範疇。任一環R上的左（右）R模M都有投射分解式中一切Pj都是投射左R模，即自由左R模（有基模）的直和項，且左R模同態dj+1的像與dj的核相等（即正合列，只要求djdj+1＝0時稱為復形），j＝0,1,…,n−1。上述n＜∞不存在時定義M的左投射維數lpd(M)＝∞,n＜∞存在時上述分解與n都不唯一，定義lpd(M)＝inf{n}。稱lgD(R)＝sup{lpdMbM為左R模}為R的左整體維數。類似地可定義R的右整體維數rgD(R)。lgD(R)＝0等價於rgD(R)＝0即R為阿廷半單環；lgD(R)≤1（未必有rgD(R)≤1）等價於R為左遺傳環（一切左理想都是投射模的環），從而給環性質一個有用的同調刻畫。通過張量積可定義投射模的推廣——平坦模並由此定義模的左（右）平坦維數及環R的弱維數WD(R)。WD(R)＝0等價於R為正則環（即，有r′∈R使rr′r＝r）用張量積函子7與同態函子Hom以及它們的導出函子Tor與Ext，可使這種理論更加完善，套用也更加方便。推薦書目 周伯壎.同調代數.北京:科學出版社,1988. ROTMANJJ.AnIntroductiontoHomologicalAlgebra.NewYork:AcademicPress,1979.
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