同構證明方法

同構證明方法是一種證明方法。同態和同構是布爾巴基學派提出的重要概念，它是對於結構之間關係的描述。雖然同構概念提出較晚，但其意義是極其深遠的。同構不僅是數學的證明方法，也是基本的心理結構和人類思維的基本方式。

基本介紹

• 中文名：同構證明方法
• 所屬學科：數學
• 相關概念：同態映射，同構映射等
• 相關學派：布爾巴基學派

基本定義

定義

設 和 是兩個同類型的代數系統(代數系統是集合及其運算構成的系統)， 是一個映射，如果對於任意元 恆有

則稱 是 到 的一個同態映射，並稱 與 同態，用 表示；如果 是一個雙射，則稱 是 到 的一個同構映射， 與 同構，用 表示。

定義

在證明中對如式(2)、式(3)、式(4)任意一命題的運用是同構證明方法：

舉例說明

例1 地圖(圖1)及圖上運算與實景及基於實景的運算構成的同構。

圖1 地圖

一個地圖與實際場景的對應是典型的同構，如圖1所示。用兩個三角形符號△₁，△₂作為山的圖例，用曲線表示河流，用心臟的符號表示一尊佛像，這實際上建立了圖例(X集合)和實體(Y集合)的一一映射關係 。

：圖例→實景：

△₁→小山

△₂→大山

♡→佛像

在地圖上進行一種“找”的計算※，定義為“以它所計算的兩個元素的點(△₁，△₂)尋找等邊三角形的第三個點(♡)”。

在實地“找”的過程可以命名為一種計算■，定義為“定位和步行找到佛像”。

那么※和■就是完全不同的運算。在這種情況下，可以有如下推理：

(({△₁，△₂， (♡)}，※) ({ (△₁)， (△₂)， (♡)}，■)) ( (△₁※△₂)= (♡)→ (△₁)■ (△₂)= (♡).

即同構方法使得通過圖例的計算可以在實景找到佛像目標。

例2 兩個同構的群。

將一個代數系統 稱為群，如果它：

(1)滿足結合率，即對任意的 ，有 ；

(2)存在單位元，即對任意 ，有 ；

(3)G中的任何一個元素都是可逆元，即對任意 ，都存在 ，使得 。

設 為正實數的集合， 為實數的集合，×為乘法運算，+為加法運算。設存在函式：

其中：b是確定的底數。那么， ，因為