可補空間

設Y是巴拿赫空間X的閉子空間，若存在一個從X到Y上的有界線性運算元，則稱Y在X中是可補的。

基本介紹

• 中文名：可補空間
• 外文名：complementary subspace
• 適用範圍：數理科學

簡介

可補空間是希爾伯特空間中正交補的概念在巴拿赫空間中的推廣。

設Y是巴拿赫空間X的閉子空間，若存在一個從X到Y上的有界線性運算元，則稱Y在X中是可補的。

判定

X的閉子空間Y在X中可補的充分必要條件為：存在閉子空間，使Y∩Z= ={0}，X=Y+Z，即X=Y⊕Z。

希爾伯特空間X的每個閉子空間M必在X中可補。

發展

巴拿赫(Banach,S.)於1932年提出如下兩個問題：

1.空間L[a,b](1<p<+∞,p≠2)的每個閉子空間M是否一定在L[a,b]中可補?

2.空間l(1<p<+∞,p≠2)的每個閉子空間M是否一-定在l中可補?

默里(Murray,F.J. )於1939年指出，這兩個問題的答案都是否定的。

巴拿赫和馬祖爾(Mazur,S.)於1933年指出，C[0,1]中存在不可補的子空間，這是巴拿赫空間中存在不可補閉子空間的第--個例子。

林登史特勞斯(Lindenstrauss,J.)和扎弗里里(Tzafriri,L.)於1971年進一步證明，如果實巴拿赫空間X不等距同構於希爾伯特空間，那么X中必定存在不可補的閉子空間。