可微函式芽環(ring of germs of differentiablefunctions)是一種特殊的環。指可微函式芽的全體在以自然方式定義的加法、乘法下構成的環。考慮n維歐氏空間R上的無窮次可微函式在原點O的芽，以記號f：(R，0)→R記之。
基本介紹
- 中文名：可微函式芽環
- 外文名：ring of germs of differentiablefunctions
- 領域：數學
- 性質：一種特殊的環
- 對象：可微函式芽
- 套用：奇點理論
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概念
可微函式芽環(ring of germs of differentiablefunctions)是一種特殊的環。指可微函式芽的全體在以自然方式定義的加法、乘法下構成的環。考慮n維歐氏空間R上的無窮次可微函式在原點O的芽，以記號f：(R，0)→R記之。以ε(n)記這樣的芽的全體做成的集合，並以自然的方式在其上定義函式芽的相加、相乘以及函式芽與實數的相乘。對於這些運算，ε(n)成為具有單位元的交換環，且是R上的代數，稱為可微函式芽環或稱可微函式芽代數。ε(n)中那些在原點取值為0的芽之全體做成ε(n)的惟一極大理想，記為m(n)。這個極大理想m(n)在奇點理論研究中起著重要的作用。
函式芽
函式芽是奇點理論與突變理論的主要研究對象之一。確定在一點的鄰域上的連續映射的等價類。精確地說，設X，Y是拓撲空間，p∈X，考慮由在點p附近定義的全體連續映射g所構成的集合A，A={g|g：U→Y，U是點p的開鄰域，g是連續映射}。在這個集合里引進等價關係如下：設g：U→Y，f：V→Y是A中的兩個映射，若存在點p的開鄰域W，使得WU∩V，而且f和g在W上的限制相等，即f|W=g|W，則稱f和g等價。在這個等價關係下的一個等價類就稱為映射在點p的芽。常記為h：(X，p)→Y。這個類中的任何映射g都稱為芽h的代表，而h也稱為映射g在點p的芽。關於映射的許多概念，如兩個映射的複合映射等都可以自然的方式搬到映射芽上來。特別地，函式的相乘、相加等概念能夠以自然的方式搬到函式芽上。在奇點理論與突變理論中研究的是可微映射芽。
環
環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
奇點理論
一門新興的數學學科，它處在拓撲學、代數幾何、微分幾何、代數學、分析學等眾多數學領域的交界處。追溯其歷史淵源，有20世紀30年代，莫爾斯(Morse，M.)的臨界點理論；20世紀40年代，惠特尼(Whitney，H.)的有關微分流形嵌入、浸入的奇點的工作；以及龐特里亞金(Понтрягин，Л.С.)與惠特尼等人的與示性類有關的奇點方面的工作。這是奇點理論的萌芽時期。1955年，惠特尼關於平面映到平面的映射的奇點的工作，標誌著奇點理論開始作為一個獨立的數學分支登上了數學舞台。1956年，托姆(Thom，R.)的論文《可微映射的奇點》，對奇點理論做了高度的概括，為其以後的發展提出了綱領式的描述；1960年，他在波恩做了系列演講，使其綱領式的描述更加具體化。此後，奇點理論得到了蓬勃的發展，一方面奇點理論本身取得了重大進展，如瑪瑟(Mather，J.N.)關於穩定性方面與阿諾爾德(Арнольд，В.И.)關於奇點分類方面的工作；另一方面是奇點理論在自然科學中的套用也取得了重大的成就，這就是20世紀60年代末托姆創立的突變理論。
