反幻方

反幻方是在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對角線的幾個數之和不相等，具有這種性質的圖表，稱為“反幻方”。

基本介紹

• 中文名：反幻方
• 性質：圖表
• 特徵：若干個排列整齊的數
• 優點：幾個數之和不相等
• 領域：數學

反幻方的定義

反幻方與正幻方最大的不同點是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所謂幻和就是幻方的任意行、列及對角線幾個數之和。如下圖1 3階反幻方的比較。

圖中框線外圍的數字之和就是幻和。紅色為偶數，黑色為奇數。

可以說反幻方是一種特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。如下圖1多種3階反幻方。

3階反幻方如果旋轉、翻轉後的幻方算作同一個，總共有3120個3階反幻方，如果旋轉、翻轉後的幻方另外算一個，共24960個反幻方。

圖1 多種反幻方

完美反幻方

完美反幻方是指將連續的n^2個數字填到n*n的正方格中，使其中任意一行、任意一列、任意一條對角線上的 數字之和都不相等。並且各個方格內的自然數必須首尾相連，成為螺旋的形狀。當代美國科普作家加德納（M．Gardner，1914~）發 現，符合上述條件的反幻方只有兩個，它們是：

即一個轉進去的螺旋與一個轉出來的螺旋。

n階反幻方與高階反幻方

n階幻方是由前n^2（n的2次方）個自然數組成的一個n階方陣，其各行、各列及兩條對角線所含的n個數的和不相等。例子：

高次幻方是指，當組成幻方各數替換為其2，3,...,k次冪時，仍滿足反幻方條件者，稱此幻方為k次幻方。

反幻方的歷史來源

幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，它最早起源於我國。關於幻方的起源，我國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上天，於是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲氏憑藉著“河圖”而演繹出了八卦，後來大禹治洪水時，洛水中浮出一隻大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。“洛書”所畫的圖中共有黑、白圓圈45個。把這些連在一起的小圓和數目表示出來，得到九個。這九個數就可以組成一個縱橫圖，人們把由九個數3行3列的幻方稱為3階幻方，除此之外，還有4階、5階...

後來，人們經過研究，得出計算任意階數幻方的各行、各列、各條對角線上所有數的和的公式為：

S=n(n ^2+1) /2

其中n為幻方的階數，所求的數為S.

三階幻方是最簡單的一種幻方,如果把經過旋轉和反射以後產生的幻方看作相同的幻方,那么,三階幻方只有一種構造方法。美國著名幻方大師馬丁·加德納發現：將1，2，3…9九個數隨意填進三階方陣中的九個格子裡，一般都會出現一些行或列或對角線上數字之和相等，於是他提出疑問：是否存在一個方陣，它的任一行，任一列或對角線上的數字之和都不相等呢？這就是反幻方問題，經過研究他終於找到了這種反幻方，有趣的是反幻方中的九個數竟形成了按順序咬接的“一條龍“。

1	2	3
8	9	4
7	6	5