設 Z，N，Q 分別表示全體整數，正整數以及有理數的集合。1844 年，Catalan曾經猜測：正整數8和9是唯一的兩個連續的完全方冪。
凱特蘭於1842 年提出：“除了8=2^3，9=3^2以外沒有兩個連續數都是正整數乘冪的猜想”。即不定方程x^p+1=y^q，其中p ，q 均是素數，除了8=2^3，9=3^2 以外沒有其它的正整數解。160 多年來數學家們證明了下列定理：歐拉(Euler)首先證明了不定方程x^2-1=y^q，當q=3 時猜想成立；大約1961 年卡塞爾斯證明了不存在三個相鄰的正整數是完全冪。1962 年柯召證明了當q > 3 時，不定方程x^2-1=y^q 無正整數解。
另外，《數學猜想集》的定理1.3.16 “不定方程x^p+1=y^q，q 是奇素數，沒有x > 0，y >0 的正整數解”。
基本介紹
- 中文名：卡塔朗猜想
- 外文名：Catalan conjecture
- 提出者：Catalan
- 時間：1842年
- 學科：數論
- 解決者：Mihˇailescu
概述,證明,
概述
設 Z，N，Q 分別表示全體整數，正整數以及有理數的集合。1844 年，Catalan曾經猜測：正整數8和9是唯一的兩個連續的完全方冪。顯然，上述猜想可表述為
猜想 1.1 方程
僅有解 (x，y，m，m) = (3，2，2，3)。
這是數論中的一個著名難題，一百多年來人們曾對此有過大量的研究。 例 如，Lebesgue證明了：方程 (1.1) 沒有適合 2|n 的解 (x，y，m，n)；柯召證明了：方程 (1.1) 僅有解 (x，y，m，n) = (3，2，2，3) 適合 2|n。 2004 年，這一猜想最終由Mihˇailescu完全解決。
1986 年，Shorey 和 Tijdeman 將 Catalan 猜想擴展到了有理數的範圍，提出了以下猜想：
猜想 1.2 方程
僅有有限多組解 (X，Y，m，n)。
上述猜想稱為廣義 Catalan 猜想。 由於該猜想與著名的廣義 Fermat 猜想有直接的聯繫，所以這是一個很有意義但又非常困難的問題，目前僅解決了一些 極特殊的情況。例如，vander Poorten證明了：對於給定的 S 集合，即由有限多個素數經乘法生產的正整數的集合，方程 (1.2) 僅有有限多組解（X，Y，m，n）可使 X 和 Y 都是 S - 整數，即分母是該 S 集合中元素的有理數。
證明
廣義Catalan 猜想在mn是偶數時的情況
證明：x，y和z中有一數的素因數給定時，該猜想是正確的
