創造集(creative set)亦稱能行非遞歸集，是余集為產生集的re集。設a為re集，若ā是產生集，則稱a為創造集。例如K={x|φx(x)↓}就是一個創造集。關於創造集的最重要的結果是邁希爾(J.Myhill)證明的：A為創造集，若且唯若A為一一完全的，又若且唯若A為m完全的。若A為創造集，則A既非遞歸集，也非單純集。但是遞歸集、創造集和單純集並沒有窮盡全部的re集，德克爾(J.Dekker)證明了存在一個非遞歸、非單純又非創造集的re集。並稱這種集合為中間集。不僅如此，還證明了任何非遞歸reT度中都有中間集。
基本介紹
- 中文名：創造集
- 外文名：creative set
- 別稱：能行非遞歸集
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：數理邏輯(遞歸論)
定義,相關結論,
定義
定義1設
是一個遞歸可枚舉集。若存在遞歸函式
使對任何遞歸可枚舉集
，如果
，
，就說
是創造集。
與創造集緊密聯繫的有另一個概念，即生產集。
定義2給定集合
，若存在遞歸函式 ，使當
時，
，就說A是一個生產集，
叫A的生產函式。
生產集當然不是遞歸可枚舉集。
定義3利用生產集的概念，可以重新定義創造集如下：
若A滿足下列條件：
(1) A 是遞歸可枚舉集；
(2)
是生產集，
就說A是創造集。
生產集的特點是從它的任何一個遞歸可枚舉子集出發，可以有效地找出一個更大的遞歸可枚舉子集。
相關結論
定理1 設
為一元遞歸函式的集合，
，如果
是遞歸枚舉集，那么F是創造集。
證明：顯然空函式
，因為不然的話F是生成集，與題設矛盾。因此
，又由定理2，
是生成集，從而F是創造集。證畢。
運用本定理可以很快地判定
等遞歸枚舉集是創造集。
定理2 設為一元遞歸函式的集合，，並且至少有一個
，那么
是生成集。
創造集的一個重要性質如下.
定理3 如果A是創造集，那么A的補集
含有一個無窮的遞歸枚舉子集。
定理4 設
，若A是生產集，則B是生產集。
推論 設 ，設A是創造集，B是遞歸可枚舉集，則B是創造集。
定理5 若A是單純集，那么A不是創造集。
