分數階微積分函式的分形維數估計及其套用

《分數階微積分函式的分形維數估計及其套用》是依託南京理工大學，由梁永順擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：分數階微積分函式的分形維數估計及其套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：梁永順
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

本項目針對閉區間上圖像具有分形結構的的且很難用經典微積分來刻畫的連續函式，提出使用分數階微積分的方法，研究此類函式的局部結構和函式分形維數的變化情況。項目採用Holder條件的方法估計函式的分數階微積分的分形維數的上界，採用Box維數和分布函式的方法估計函式的分數階微積分的分形維數的下界。從而證明在適當條件下，函式的分形維數的變化是線性的，即與分數階微積分的階之間存在著線性關係。本項目把研究所得結論套用於焊接圖像的處理中，幫助評價焊接質量,同時套用到網路數據流量的擬合分析中。研究分形函式的分數階微積分的性質和分形維數的變化情況，對推動分數階微積分的研究具有十分重要的理論意義。研究所得結論在網路數據流的擬合與焊接圖像處理的套用，對分數階微積分理論套用到醫學圖像處理、自動控制理論、複雜網路傳輸等工程實踐中具有重要的實際意義。

結題摘要

本項目針對閉區間上圖像具有分形結構的且很難用經典微積分來刻畫的連續函式，提出使用分數階微積分的方法，研究此類函式的局部結構和函式的分形維數的變化情況。項目首先討論了奇異連續函式、局部分形函式、正則分形函式、非正則分形函式的定義，其次刻畫了有界變差函式和一維分形函式的分數階微積分的分形維數和性質，又討論了一般分形函式的分數階積分的分形維數變化情況，最後對具有表達式的特殊分形函式的分數階微積分的分形維數估計作了一個系統的總結。本項目的研究對分形函式的分數階微積分的分形維數線性變化理論方面的研究產生了重要的推進，所得研究結果在計算機圖像處理中得到了套用。本項目中關於一維有界變差函式的分數階積分仍然是一維有界變差函式的結論說明連續的非分形函式其分數階積分的分形維數仍然為1，更進一步的證明具有可列個有界變差點的一維分形函式的分數階積分的分形維數仍然是1，同時證明一類一般分形函式的分數階積分的分形維數是不增的。本項目建立了關於分形函式的分形維數關於分數階微積分的階呈線性變化的猜測，並努力朝著該方面證明或者試圖給出反例。